Tarea 1 algebra lineal: vectores y matrices

Tarea 1-Algebra lineal

Vectores

Son segmentos de una recta orientada, que tiene como función representar las magnitudes verticales

Su expresión algebraica es:

Conjunto de elementos ordenados

Vector unitario

Un vector unitario se refiere al modulo cuyo valor es 1. Es un vector unitario si y solo si cumple la siguiente propiedad

Ángulos directores

Para hallar el ángulo director que se forma en los ejes se utilizan las siguientes formulas

Norma

Es hallar la magnitud o medida de un vector

Propiedades de los vectores

Igualdad entre dos vectores:

Se dice que dos vectores son iguales siempre y cuando su magnitud, dirección y sentido también sean iguales.

Suma de los Vectores

Solamente se pueden sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida, es decir; fuerza con fuerza, aceleración con aceleración, etc… Pero no se pueden sumar un vector de desplazamiento con uno de fuerza

Negativo de un vector (Resta de vectores)

Un vector es negativo si éste tiene la misma magnitud y dirección, pero su sentido es contrario

Ley conmutativa de la adición de vectores

Al momento de sumar los vectores, no importa de que forma se sumen, la resultante de dicha adición no alterará el resultado. Es lo mismo sumar un vector A con un vector B, que decir que un vector B está sumando con un vector A.

Propiedad de Vectores libres

Los vectores no se modifican si éstos se trasladan paralelamente así mismos.

Matrices

Una matriz A es un arreglo de mxn elementos, distribuidos en m filas y n columnas. Se denota como

Tipos

Matriz diagonal

Matriz Cuadrada

Matriz identidad

Matriz escalar

Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Matriz Traspuesta

Operaciones con matrices

Suma

Sean las matrices A, B. Realizar la suma

Resta

Sean las matrices A, B. Realizar la resta

Multiplicación de un escalar por una matriz

Sean las matrices A, multiplicada por el escalar 3

Multiplicación de matrices

Sean las matrices A, B. Realizar la multiplicación

Operaciones elementales

1) Multiplicar una fila por un numero diferente a 0

2) Sumar una fila o un múltiplo de una fila a otra

3) Cambiar de lugares dos filas (Permutar)

Matriz inversa

Dado un número real aa distinto de cero, bb es su inverso multiplicativo si y solo si a.b=1a.b=1.

A continuación definiremos el inverso multiplicativo para matrices cuadradas.

Se dice que A∈Rʌn×nA∈Rʌn×n es inversible si y sólo si existe una matriz B∈Rʌn×nB tal que:

AB=BA=I

Matriz transpuesta

La matriz transpuesta está dada por una matriz donde se intercambian los renglones por las columnas, lo cual da como resultado la matriz transpuesta. Entonces, si se considera la matriz “A”:

Determinantes

Si una matriz es 2x2 se puede hallar y definir el determinante. En la matriz A el determinante se expresa como detA o bien A

Propiedades

1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero

2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.

4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.

Determinante NxN

Las determinantes nxn tienen un orden superior a 3, donde las matrices de tamaño nxn, donde n > 3