Progressão Aritmética e Geométrica

Progressão Aritmética e Geométrica

1. Progressão

   • Ex1: (a1, a2, a3,.., an)
   • Crescente
     • Ocorre quando a razão de uma PA ou PG é positiva, fazendo dom que os termos seguintes aumentem em relação aos anteriores.
     • Ex1: PA = (1, 2, 3) r = 1
     • Ex2: PG = (2, 4, 8) r = 2
   • Decrescente
     • Ocorre quando em uma PA a razão é negativa e em uma PG quando o primeiro termo é negativo e a razão é positiva.
     • Ex1: PA = (3, 2, 1) r = -1
     • Ex2: PG = (-1, -2, -4) r = 2
   • Constante
     • Ocorre quando em uma PA a razão é igual a 0 e em uma PG quando a razão é igual a 1.
     • Ex1: PA = (1, 1, 1) r =0
     • Ex1: PG = (2, 2, 2) r =1
   • Alternante
     • Quando os valores da sequência vão alternando entre positivo e negativo.
     • Ex1: (3, -6, 12, -24)
     • OBS: Progressões alternantes só ocorrem em Progressões Geométricas.

2. Progressão Aritmética

   • É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante. O número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.
   • Ex1: (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22) Razão = r; r = 3; Número de termos = n; n =  7.
   • Ex2: Determine o 1001º termo da progressão aritmética (30, 36, 42,...): R: a1 + 1000r; R: 30 + (1000*6); R: 6030.
   • Ex3: Um atleta, pelo período de 30 dias, seguiu seu ritmo de treino em progressão aritmética. Sabendo que no 5º dia de treino ele correu 3000 metros e no 12º dia ele correu 5100 metros, determine quantos metros ele correu no 30º dia: 
   • R: a12 = a5 + 7r; 5100 = 3000 + 7r; 2100 = 7r; r = 300; a30 = a5 + 25r; a30 = 3000 + 25 * 300; a30 = 10500.
   • Ex4: Encontre três números em progressão aritmética de forma que a soma  seja 5 e o produto do segundo pelo terceiro termo seja 40:
   • R: (x - r, x, x + r); x - r + x + x + r = 15; x = 15 / 3; x = 5; 5(5 + r) = 40; 25 + 5r = 40; 5r = 15; r = 3
   • O primeiro mais o terceiro dividido por dois, é igual ao segundo. Ex: (2, 4, 8).
   • Soma dos Termos
     • Para determinar a soma dos termos, basta seguir a seguinte formula: Sn = ((a1 + an) / 2)r, onde: Sn: Soma dos Termos; a1: Primeiro Termo; n= Posição do Termo.
     • Ex1: Encontre a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética (110, 120, 130, ...)
     • R:  a100 = 110 +99r = 1100; sn = ((110 + 1100) / 2)100; sn = (1210/2)*100; sn = 60500.
   • Termo Geral
     • Para determinar o número de termos de uma progressão aritmética, basta seguir a seguinte formula: an = a1 + (n - 1)r, onde: an = Termo Geral; a1 = Primeiro Termo; n = Posição do Termo; r = Razão.
     • Ex1: Determine o número de termos da progressão aritmética (42, 47, 52, ... , 1137):
     • R: an = a1 + (n-1)r; 1137 = 42 + (n - 1)5; 1137 = 42 + 5n - 5; 1137 - 37 = 5n; n = 220.
   • Razão
     • A razão da progressão aritmética é encontrada pela diferença entre um termo pelo anterior.
     • Ex1: (1, 3, 5, 7) R: 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2
     • Ex2: (10, 9, 8, 7) R: 9-10 = 8-9 = 7-8 = -1

3. Progressão Geométrica

   • É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à multiplicação do termo anterior com uma constante. O número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.
   • Ex1: (5, 10, 20, 40, 80, 160) Razão = q = 2; Número de termos = n = 6.
   • Ex2: Determine o 100º termo da progressão geométrica (7, 21, 63,...): R: a100 = a1*q^99 R: a100 =  7 * 3^99;
   • Ex3: Observou-se que em um determinado mês o número de pessoas afetadas por determinada doença cresceu de acordo com uma progressão geométrica. Sabe-se que no 5º dia havia 400 pessoas e no 8º dia havia 3200 pessoas. Determine o número de pessoas no primeiro dia: 
   • R: a8 = a5 * q^3 3200 = 400 * q^3 q^3 = 3200/400 q = 2; a5 = a1 * q^4; 400 = a1 * 2^4; a1 = 400 / 16; a1 = 25
   • Ex4: Encontre três números em progressão aritmética de forma que o produto desses termos seja 1000 e a soma do segundo com o terceiro seja 30.
   • R: (x/q, x, x.q) x/q , x, x*q = 1000x^3 = 1000 x = 10 (10/q, 10 10*q) 10 + 10q = 30 10q = 20 q = 2
   • O primeiro termo multiplicado pelo terceiro é igual ao segundo ao quadrado.
   • Termo Geral
     • Para determinar o número de termos, basta seguir a seguinte formula: an = a1 * q ^(n-1), onde: an: O número desejado. a1: O primeiro Termo. q^(n-1): Razão da PG elevada pelo posição desejada.
     • Ex1: Determine o número de termos da progressão geométrica: (2,4,8,16,...)
     • R: a20 = 2 . 2^(20 - 1) a20 = 2 . 2^(19) a20 = 1048576
   • Razão
     • A razão da progressão geométrica é encontrada pela divisão entre um termo pelo anterior.
     • Ex1: (1, 2, 4, 8) R: 8/4 = 4/2 = 2/1 = 2
   • Soma dos Termos
     • Para determinar a soma dos termos, basta seguir a seguinte formula: Sn = a1(1 - q^n) / 1 - q, onde: Sn: Soma dos números da PG. a1: Primeiro Termo. q: Razão. n: Quantidade de Elementos.
     • Ex1: Encontre a soma dos 10 primeiro termos da seguinte PG: (1,2,4,8,16, 32,...)
     • R: Sn = a1(1 - q^n) / 1 - q Sn = 1(1 - 2^10) / 1 - 2 Sn = - 1023 / -1 Sn = 1023
     • Para determinar a soma dos temos infinto, basta seguir a seguinte formula: s = a1 / 1 - q.
     • Ex1: Determine a soma dos infinitos termos da progressão geométrica (18, 6, 2, ...)
     • R: q = 2/6; q = 1/3; s = 18 / 1 - 1/3 s = 18 / 2/3 s = 27

4. Sequência Numérica

   • Corresponde a uma função dentro de um agrupamento de números. De tal modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto.
   • Ex1: (a1, a2, a3,.., an).
   • Infinita
     • Sequência Infinita ocorre quando a progressão possuí uma quantidades de termos impossível de determinar.
     • Ex1: Números Primos (2, 3, 5, 7, ..)
   • Finita
     • Sequência finita ocorre quando a progressão possuí uma quantidades de termos determinados.
     • Ex1: {1,3,5,7}

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