INTEGRALES

INTEGRALES

1. DEFINIDAS

   • Área bajo la curva
     • Teorema fundamental del cáldulo
       • • Ejemplo
           • • Solución
     • Suma de Riemann
       • Se divide el intervalo a ≤ x ≥ b en n subintervalos
         • Gráficamente es:
           • • La aproximación del área mejora cuando se aumenta el número de subintervalos
         • La distancia entre cada subintervalo está dado por: siendo n el número de subintervalos, b el número mayor y a el número menor
           • Para luego plantear la suma , siendo f(x) la altura del rectángulo anterior o siguiente
             • Recordar que el área de un rectángulo es = base*altura, altura (f(x)) y base Δx
               • Ejemplo
                 • • S2=f(1)=3,S1=f(3)=7
                   • Basándonos en la figura b, se realiza tomando los puntos extremos izquierdos
                   • Solución
   • • Reglas
   • Variación promedio
     • El valor promedio de f(x) a ≤ x ≥ b
       • Está dado por la integral definida
         • • Algunas aplicaciones
             • Ventas mensuales promedio
               • Ejemplo
             • Temperatura promedio
               • Ejemplo
   • Variación total
     • Algunas aplicaciones
       • Variación total del costo
         • Ejemplo
       • Variación total de la masa de la proteína
         • Ejemplo
     • Se resuelve a través del teorema fundamental del cálculo
   • Aplicaciones
   • SIN C

2. INDEFINIDAS

   • Propiedad
     • Si F(x) es una antiderivada de la función continua f (x), entonces cualquier otra antiderivada de f (x) tiene la forma G(x)=F(x)+C para alguna constante C.
   • Difiere de las definidas en que
     • Para cada x en el dominio de f(x)
   • • Cada parte se nombra como
     • Reglas
       • • • Reglas algebraicas
   • Aplicaciones
     • Determinación del costo
       • A partir del costo marginal
         • Ejemplo
         • El costo marginal es la derivada de la función del costo total
     • Determinación de la velocidad y aceleración
       • A partir de la aceleración
         • Ejemplo
     • Para resolver ecuaciones diferenciales
       • Ejemplo
         • Para encontrar el ingreso

3. Definición

   • Se dice que una función F(x) es una antiderivada de f (x) si F'(x)=f (x)

4. Métodos de integración

   • Directa
     • Se usan las reglas de integración indefinida
       • Ejemplo
         • Regla logarítmica
         • Regla de la potencia
           • • dando como respuesta
               • ((x^(18))/(18)) + c
         • Regla exponencial
           • • dando como respuesta
               • ((e^(-3x))/(-3)) +c
         • Regla de la constante
           • • dando como respuesta
               • 3x+c
   • Por sustitución
     • Es equivalente a invertir la regla de la cadena de la derivación
       • Pasos
         • 1. Se elige una sustitución u que simplifique el integrando
           • 2. Se expresa la integral en términos de u y du= u'(x) dx (La derivada de u, que muchas veces se encuentra dentro del integrando), es decir, todos los términos que estén en x y dx deben ser transformados
             • 3. La integral dada deberá tener la forma
               • 4.Se usan las diferentes reglas de la integral indefinida para resolver. Se reemplaza u por la expresión inicial a la que le dimos ese nombre
                 • Ejemplo
                   • • u=2x+7
                     • du= 2 dx
                     • También la puedo usar para integrar una función exponencial
                       • Ejemplo
                         • • u=(x^(4))+2
                           • du=4(x^(3)) dx
   • Trigonométricas
     • Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas
       • Se deben tomar en cuenta las identidades trigonométricas para realizarlas
         • Ejemplo
           • ∫ sin x dx
             • Respuesta
               • -cosx+c
           • ∫ sinx.cosxdx
             • Debemos aplicar sustitución
               • u= cox
               • du= -sin x dx
               • Respuesta
                 • -((cos(x^2))/2)
           • ∫ 2xsin(x^(2))dx
             • Debemos aplicar sustitución
               • u=x^2
               • du=2x
               • Respuesta
                 • -cos(x^2)
   • Todos se pueden usar tanto en integral definida como indefinida
   • Por partes
     • Es una técnica basada en la regla del producto para la derivación. se usa cuando tenemos dos funciones que se están multiplicando
       • Se resuelve por medio de la fórmula
         • • Se inicia determinando u y dv. Para hallar v se debe integrar dv y para hallar du se debe derivar u. Para elegir u se debetomar en cuenta que V y que du es más fácil de integrar. Reemplazar en la fómula anterior
             • Ejemplo
               • • Empezamos nombrando
                   • u=ln x
                   • dv= (x^(2)) dx
                   • du=1/x
                   • v=1/3(x^(3))
                 • Respuesta
             • Ejemplo
               • • empezamos nombrando
                   • dv= 1dx
                   • du=1/x
                   • v=x
                   • u=lnx
                 • Respuesta
                   • 1
   • Se pueden combinar a la hora de solucionar un problema
   • Sustitución trigonométrica
     • Casos
       • (a^2)-(b^2)(x^2)
         • x= (a/b) (sin alfa)
         • dx=((a/b)cos alfa)d alfa
         • Ejemplo
           • ∫ (((9-(x^2))^(1/2))/(x^2)) dx
             • (a^2)=9
             • (b^2)=1
             • x= (3/1) sin alfa
             • dx= ((3/1) cos alfa) d alfa
       • (a^2)+(b^2)(x^2)
         • x= (a/b)tan alfa
         • dx= ((a/b)(sec alfa)^2)d alfa
         • ∫ (1/((x^2)((x^2)+4)^(1/2))) dx
           • (a^2)=4
           • (b^2)=1
           • x=2tan alfa
           • dx=(2(sec alfa)^(1/2)) d alfa
         • Ejemplo
       • (b^2)(x^2)-(a^2)
         • x= (a/b) sec alfa
         • dx= ((a/b) sec alfa. tan alfa) d alfa
         • Ejemplo
           • ∫ (1/((x^2)-16)^(1/2)) dx
             • (a^2)= 16
             • (b^2)=1
             • x=4sec alfa
             • dx=(4sec alfa. tan alfa) d alfa
     • Pasos
       • 1. Identificar el caso
         • 2. (Identificar quien es (a^2) y (b^2) y hallar sus respectivas raíces (a y b son las constantes que acompaña a la variable)
           • 3. Igualar la variable y la derivada de la variable de acuerdo al caso, lo que se encuentra al otro lado de la igualdad está en términos de otra variable
         • 4. Reemplazar el integrando inicial por lo resultante en las igualdades del paso anterior
           • 5.Aplicar identidades trigonométricas hasta encontrar una expresión más sencilla de integrar
             • 6. Integrar
               • 7. Expresar la solución de la integral en los términos de la variable inicialmente dada
                 • para lo anterior necesitamos conocer a que lados del triángulo corresponden las razones trigonométricas resultantes del paso 3 y 7, así como conocer el teorema de Pitágoras

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