Cálculo

Cálculo

1. Teorema del valor medio

   • Si tengo un intervalo cerrado [a,b]  de una función continua en ese intervalo, y es derivable en (a,b), entonces= La pendiente (m) entre los puntos  (a,(f(a)) y (b,f(b)), es igual a por lo menos la pendiente de algún punto de la función en ese intervalo. Ese punto donde la pendiente es (m) tiene que estar en el intervalo.
   • Teorema del Rolle
     • Lo mismo que lo anterior, pero en este caso f(a)=f(b), es decir que los límites del intervalo están a la misma altura. Entonces la pendiente entre ellos es cero. Entonces si cumple con las condiciones, hay un punto de la función en ese intervalo donde la pendiente es cero. Es decir hay un punto crítico en ese intervalo.

2. Primera derivada

   • Intervalos crecientes y decrecientes
     • Si la derivada es positiva en un intervalo, entonces la función original es positiva en ese intervalo. Si la derivada es negativa en un intervalo, entonce la función original es negativa en ese intervalo.
   • Puntos crítcos
     • Puedo determinar su naturaleza con el criterio de la primera o segunda derivada.
     • Máximos y Mínimos
       • Si la pendiente es positiva en un intervalo (a,b) y negativa en el intervalo (b,c),  y es continua en b, entonces b es un punto máximo local. Si la pendiente es negativa en un intervalo (a,b) y positiva en el intervalo (b,c), y es continua en b, la función tiene un mínimo local en b.

3. Segunda derivada

   • Criterio del segunda derivada
   • Intervalos de concavidad
     • Si la segunda derivada es positiva en un intervalo, la función original es concava hacía arriba en ese intervalo. Si la segunda derivada es negativa en un intervalo, la función original es concava hacía abajo en ese intervalo.
   • Máximos y mínimos
     • Si al evaluar la segunda derivada en un punto crítico (c), el resultado es positivo, este es un punto Mínimo local. Si al evaluar la segunda derivada en un punto crítico (c), el resultado es negativo, este es un punto máximo local.
   • Puntos de inflexión
     • Puntos donde la función cambia de concavidad. Son las raíces de la segunda derivada.

4. Asintotas de la función

   • Verticales
     • Punto (v) donde la función no esta definida. Estos puntos no pertenecen al dominio.  Si el Límite cuando x tiende a (v) tanto por izquierda como por derecha es infinito (positivo o negativo), entonces la recta x=v  es una asintota vertical de la función  
   • Horizontales
     • si el límite cuando x tiende a mas o menos infinito es un valor (h) entonces la recta y=h es una asintota vertical de la función.

5. Graficar funciones

   • -Primero considere su dominio. -Asintotas de función -Raizes de la función-Luego la primera derivadaPuntos críticos y intervalos crecientes y decrecientes-Segunda derivadaMáximos y Mínimos, Intervalos de concavidad, puntos de inflexión.

6. Regla de L`Hopital

   • Para calcular un limite DE UNA FRACCIÓN.  Si obtengo una indeterminación de la forma "0/0" o  "∞/ ∞" puedo aplicar esta regla para encontrar el límite. Si obtengo otro tipo de indeterminación puedo moldear la función para obtener una indeterminación conveniente (una que me permita aplicar L´Hopita).Si el límite cuando (x) tiende a (c) da una indeterminación de las formas mencionadas, entonces DERIVO NUMERADOR Y DENOMINADOR INDIVIDUALMENTE. Es decir, derivo numerador independiente del denominador y viceversa.El limite de esa nueva expresión es igual al limite de la primera expresión. Es probable que nuevamente se obtenga una indeterminación así que vuelvo a aplicar L¨Hopital, cuantas veces sea necesario, siempre y cuando la indeterminación sea una de las mencionadas.
   • Indeterminaciones
     • Si
       •  ∞*0 1^ ∞ ∞^0
     • No
       •  ∞/0

7. Propiedad logarítmica

8. Optimisación

   • Encontrar el máximo o mínimo de una función. *Hacer la función. *Dos variables, tendre que eliminar una, a traves de la relación o condicionante. *cálculo máximo o mínimo. *Demuestro su naturaleza con el criterio de la segunda derivada.

9. Antiderivada

   • Una antiderivada es la función de la cual proviene una derivada.
   • Integral indefinida
     • Conjunto de funciones que tienen como derivada común a f(x) Se usa la notación de integral, pero no se colocan los límites.
     • Propiedades

10. Notación sigma

11. Suma de Riemann

    • Suma de rectángulos para cubrir un area curva.

12. Integral definida

    • Area de bajo la curva en un intervalo [a,b] de una función. La suma de Riemann se lleva al límite cuando n (cantidad de rectangulos) tiende a infinito.
    • Propiedad aditiva
      • Una integral es igual a la suma de pequeñas integrales

13. Teorema fundamental del cálculo

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