Proposiciones matematicas

Proposiciones matematicas

1. ¿Que es?

   • Es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez. Denominadas a través de letras minúsculas, las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la falsedad de su enunciado).

2. Tipo de preposiciones

   • Simples o Atomicas
     • Las proposiciones simples o atómicas son proposiciones que ya no pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones.
       • Ejemplos de proposicion simple o atomica
         • 1. La ballena es roja 2. La raíz cuadrada de 16 es 4
   • Compuestas o moleculares
     • Las proposiciones en las que aparecen las partículas gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo si. Se les llama Proposiciones Compuestas o Moleculares.
       • Ejemplos de proposicion compuesta o molecular
         • 1. La ballena no es roja 2. Gustavo no es alto

3. Conectivos logicos

   • Son:
     • negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional.
       • Para simbolizar cualquier proposición es necesario saber cómo se simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras mayúsculas: 7 A, B, C, … , X, Y, Z El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente:
       • Negacion
         • define la negación de p como la proposición p¬ que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de verdad de la negación es la siguiente:
           • Ejemplo Negacion:
             • Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en la clase de álgebra, entonces ¬p es no estamos en la clase de álgebra. Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su negación dese ser una proposición que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe expresar exactamente lo contrario a lo que expresa p.
       • Conjuncion
         • Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y q". Así por ejemplo, la proposición compuesta Palmira tiene montañas y ríos es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera.
           • Ejemplos Conjuncion:
             • Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas aves vuelan y el gato es un ave”, que es obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por otro lado la proposición p ∧ ¬ q que dice “algunas aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera pues es la conjunción de las proposiciones verdaderas.
       • Disyuncion:
         • Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyunción de dos proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. La disyunción de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva, también llamada el “ o inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente.
         • Ejemplos Disyuncion:
           • Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si prueban tres parciales o si aprueban o si aprueban dos parciales y tienen un 80% de asistencia”.eneste caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero or ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se os dice que tenemos como postre “helado o flan”normalmente no significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyunción exclusiva.
       • Condicional y Bicondicional:
         • Condicional:
           • Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p ⇒ q, y se lee "si p entonces q".
         • Bicondicional:
           • Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p ⇔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q".

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