CONJUNTOS NUMERICOS

CONJUNTOS NUMERICOS

1. que se considera en si como un sistema matemático y un lenguaje especifico aplicable a ciertos problemas . Tal teorla , al igual que otros sistemas matemáticos , consiste en un conjunto de conceptos basicos, definiciones, operaciones, propiedades y teoremas. Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.

   • Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos o entes de cualquier indole bien definidos
     • Los elementos de un conjunto deben ser diferentes en general. Si uno de ellos se repite, debe contarse una sola vez. EI orden en que se enumeran los objetos carece de importancia
       • Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo:
         • C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
           • Es decir, los elementos o miembros se encierran entre dos Ilaves separandolos con comas. EI signo igual se lee " es el ", y las llaves { } significan "conjunto formaso por". la expresíon total se leera: "A es el conjunto de las letras a, e, i, o, u".
             • Si un objeto x es miembro de un conjunto A, para denotar que x pertenece a A se escribe : X Ɛ A
     • Existen conjuntos que son necesarios para resolver ciertas situaciones como el conjunto de todos los elementos involucrados en una situación dada y el conjunto sin elementos.
       • ejemplos
         • EI conjunto de Iibros de una determinada biblioteca, que a su vez esta integrado por el conjunto de Iibros de historia, por el conjunto de libros de geografia, el conjunto de Iibros de aritmetica, etc. EI conjunto de medicos de una determinada ciudad que a su vez esta integrado por el conJunto de medicos cirujanos, por el conjunto de pediatras, por el conjunto de urologos, etc.
     • Tambien hay conjuntos en los que se pueden contar sus elementos y otros en los que no se puede. Si se pueden contar los elementos de un conjunto del primero al ultimo se dice que el conjunto es infinito. En el caso contrario, si el conjunto no posee un ultimo elemento, se dice que el conjunto es infinito.
       • ejemplos
         • -Los numeros enteros positivos -Las estrellas del cielo
       • EI numero de elementos de un conjunto se simboliza con la letra " n" antes y junto del conjunto encerrado entre paréntesis.
         • Asi, si C = {a, b, 5 }, el numero de elementos se simboliza: n(C)=n( { a, b, 5} )=3
     • La igualdad
       • Dos conjuntos A y B son iguales si los elementos de A son exactamente los mismos elementos de B. Ello implica que cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y que cada elemento que pertenece a B pertenece también a A .
         • La igualdad se denota : A = B
           • ejemplo
             • Si C = {a, b , 5 , 7 } y D = {7 , b, a, 5}
               • entonces : C = D
         • Basta que un elemento de un conjunto no pertenezca al otro, para que se consideren distintos.
     • Diversos conjuntos numéricos.
       • En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son
         • N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
         • Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3. No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".
         • R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.
     • Subconjuntos de un conjunto.
       • Dado un conjunto C y una propiedad P de un elemento genérico de C, los elementos de C que poseen esa propiedad forman un nuevo conjunto S llamado subconjunto de C
         • se expresa:
           • S ⊂ C
             • por ejemplo
               • x = [x]
     • Notaciones con conjuntos.
       • En teoría de conjuntos, y más generalmente en el ámbito de las matemáticas, se utilizan unas determinadas notaciones que conviene indicar desde el principio. Sea un conjunto con unos ciertos elementos, consideremos el conjunto N de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . Para expresar que un determinado elemento pertenece a N se utiliza el símbolo "" (igual que el símbolo del euro pero con una sola raya central ). Este mismo símbolo pero tachado se interpreta como que "el elemento no pertenece al conjunto"
         • a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S
     • Unión e intersección de conjuntos.
       • Dados dos conjuntos A y B, se define unión de los conjuntos A y B, , al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B.
       • Dados dos conjuntos A y B, se define intersección de los conjuntos A y B, , al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la vez a A y a B.
       • Algunas propiedades:
     • Conjunto complementario de un conjunto.
       • Dado un conjunto A, se llama conjunto complementario de A (representado por A') respecto a un conjunto universal U, a todo U excepto los elementos de A
         • • Es decir, todo excepto los elementos de A .
         • Algunas propiedades: Suponiendo un conjunto universal llamado C, se verifica:
     • Producto cartesiano de conjuntos.
       • Sean dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B al conjunto C formado por todas las parejas posibles en forma de par ordenado (x, y), tales que el primer elemento, x, pertenezca al conjunto A y el segundo, y, pertenezca al conjunto B.
         • Este producto cartesiano se representa por C = A×B.
           • • En el diagrama adjunto podemos ver un ejemplo de producto cartesiano de A×B, siendo A={a, b, c, d}, y siendo B={a, b, d, e, f}. Los elementos de A×B, representados en rojo, son todos los pares (x, y), como por ejemplo (a, a), (a, b), (b, a), .... El número de elementos en este caso es: 4×5, es decir, 20.

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