Funciones

Funciones

1. función cúbica

   • Deficición
     • Definido como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d ϵ ℝ
   • Propiedades
     • * El dominio de la función es la recta real, es decir; todos los números ℝ
       • *El recorrido de la función es decir la imagen son todos los números ℝ
         • *La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x)
           • *La función es continua en todo su dominio
             • *La función es siempre creciente
               • *La función tiene un punto de corte con el eje Y
                 • *• La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X
   • Utilidad
     • Utilizada para relacionar volúmenes en un determinado espacio o tiempo
   • Puntos de corte
     • Los valores de "x" que hacen que el valor de "y" sea cero, son los valores donde la función cruza o toca el eje. En primer lugar, cualquier función cúbica tiene que tener por lo menos una raíz real, o sea, por lo menos una intersección con el eje "x". No hay funciones cúbicas sin intersección con el eje "x". Pueden tener 1, 2 ó 3 intersecciones con el eje "x"

2. función exponencial

   • Aplicaciones
     • Describen el crecimiento de muchas cantidades de la vida real
   • Definición
     • La base de la función exponencial siempre es positiva, por lo que el valor de f (x) siempre es positivo. Además, la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante
   • Propiedades
     • *El dominio de la función exponencial es el intervalo abierto: (− ∞,∞), es decir todos los Reales
       • *El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,∞)
         • *No cruza al eje x, siempre corta al eje y en el punto P(0,1) y pasa por el punto P(1 ,a )
           • *Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a <1
             • * La función crece más rápido si la base es cada vez mayor y decrece más rápido si la base es cada vez menor
               • * Es continua si el valor de la base es uno, a se convierte en la función constante f (x) =1, representada por una recta paralela al eje x, a una unidad de distancia

3. función logarítmica

   • Se llama función logarítmica a la función real de variable real: Y=loga F(x)
   • Propiedades
     • *La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos
       • *Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
         • *La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a
           • *Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e
             • *Es la función inversa de la función exponencial
               • *El dominio de la función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,∞)
                 • *El rango de la función logarítmica es el intervalo abierto: (− ∞,∞) es decir, todos los números reales
                   • *No cruza al eje y, siempre corta al eje x en el punto P(1,0) y pasa por el punto P( a, 1)
                     • *Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a

4. función inversa

   • Las funciones f y g son funciones inversas si f ( g ( x )) = x para todas las x en el dominio de g y g ( f ( x )) = x para todas las x en el dominio de f .
     • La inversa de una función f es usualmente denotada por f –1 y se lee “ f inversa.” (Dese cuenta que el superíndice –1 en f –1 no es un exponente).
   • Propiedades
     • *Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial
       • *La composición de una función y su inversa nos da la función identidad
         • *La función inversa no siempre existe
           • *Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial
             • *Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa
   • Pasos
     • 1. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x)
       • 2. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x
         • 3. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado