Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

1. Conjunto e elemento

   • A Teoria dos Conjuntos é uma ferramenta de auxílio na resolução de situações-problema.
   • Pode-se entender conjunto como uma coleção de objetos quaisquer, enquanto seus componentes são denominados elementos.

2. Conjunto e elemento

   • Pode-se entender conjunto como uma coleção de objetos quaisquer, enquanto seus componentes são denominados elementos.
     • Exemplo: Conjunto P dos números naturais primos menores que 10 P={2, 3, 5, 7}
       • Para indicar que um dado elemento pertence a um conjunto, utiliza-se o símbolo £, enquanto o mesmo símbolo riscado indica que o elemento não pertence a um conjunto.
         • Dois conjuntos, M e N, são iguais quando todo elemento de M é também elemento de N.
   • É bastante comum que uma letra maiúscula seja utilizada para indicar um conjunto, mas também se pode representá-lo sob as seguintes formas:
     • Tabular (ou analítica) – Em que os elementos são colocados entre chaves e separados por vírgula. De uma propriedade – Em que os elementos obedecem a uma determinada propriedade. De diagrama – Em que os elementos são representados por pontos no interior de uma curva fechada simples e plana.
   • Número de elementos: Por definição,n(A) indica o número de elementos do conjunto A.
   • Conjuntos notáveis
     • Conjunto unitário – É o conjunto que possui apenas um elemento.
     • Conjunto vazio – É o conjunto que não possui elemento.
     • Conjunto finito – É o conjunto que possui número finito de elementos.
     • Conjunto infinito – É o conjunto que possui número infinito de elementos.
     • Conjunto universo e conjunto solução (ou conjunto verdade) – Geralmente, quando uma situação-problema é abordada, trabalha-se com elementos que pertencem todos a um dado conjunto U, o qual é chamado de conjunto universo. Os elementos de U que satisfazem a essa situação-problema formam o seu conjunto solução ou conjunto verdade.
   • Subconjuntos e relação de inclusão
     • propriedade reflexiva –A c A para qualquer conjunto A.
     • propriedade transitiva – Se A c B e B c C , então, A c A .
     • propriedade antissimétrica – Se A c B e B c A , então, A=B.
     • Observe os conjuntos e . Todos os elementos do conjunto B também são elementos do conjunto A. Nesse caso diz-se que o conjunto B é um subconjunto de A, ou que B está contido em A. De forma equivalente, também se pode dizer que A contém B. Assim, um subconjunto de A é todo conjunto formado com elementos de A.

3. Conjunto das partes de um conjunto

   • Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A, denotado por P(A), o conjunto que contém todos os subconjuntos de A. Em outras palavras, se X c A então, X £ P(A)

4. Operações básicas entre conjuntos

   • União e interseção de conjuntos
     • União de conjuntos
       • Denomina-se união de dois conjuntos, A e B, o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, ou a ambos. A união desses conjuntos é representada por A u B .
     • Interseção de conjuntos
       • Denomina-se interseção de dois conjuntos, A e B, o conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. A interseção desses conjuntos é representada por A interseção B.

5. Diferença de conjuntos

   • Denomina-se diferença de dois conjuntos, A e B, o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A diferença de dois conjuntos A e B é representada por A – B.
   • Diferença simétrica de conjuntos
     • Sendo A e B conjuntos quaisquer, denomina-se diferença simétrica entre A e B o conjunto (A-B) U (B-A) , e representa-se essa diferença por A simétrico B.

6. Conjuntos Numéricos

   • Conjunto dos números naturais (N) N={0,1,2,3,4,5,6,...} Números inteiros positivos a partir de zero.
   • Conjunto dos números inteiros (Z) Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
   • Conjunto dos números racionais (Q) Q={−1,−2/5,4/3,5,...}
   • Conjunto dos números irracionais (IR) O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não são possíveis de se descrever como uma fração
   • Conjunto dos números reais (R) Podemos dizer que o conjunto dos números reais é formado por todos os números que podem ser localizados em uma reta numérica