Grapadora

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1. NÚMEROS COMPLEJOS

   • Historia cronológica
     • GRIEGOS
       • Año 100
         • Herón de Alejandría. Físico y matemático griego que vivió en Alejandría. Es considerado uno de los científicos/ inventores más grandes de la antiguedad. Destacó en geometría y geodesia y en él se dan las primeras referencias de raíces cuadradas con un número.
       • Año 275
         • DIOTANTO. Nacido en Alejandría. Es considerado el padre del álgebra maestral. Tiene varias obras y su principal es " Arithmética" (150 problemas específicos). Él planteó resolver la ecuación: 336x + 2 + 24= 172x, ecuación de raíces complejas.
     • SUIZOS
       • Año 1707
         • LEONHARD EULER. Nació en Basilea, Suiza. Fue un matemático y físico. Es conocido por el número de Euler (e). Él utilizó el símbolo "i"para representar la raíz cuadrada de -1.
       • Año 1667
         • JOHANN BERNOULLI. Nació en Basilia, Suiza. Fue un destacado matemático, médico y filólogo. Usó los números imaginarios para resolver integrales.
     • INDIO
       • Año 600
         • BHASKARA. Nació en Saurastra, estado de India.  Fue un matemático que se dedicó al sistema decimal    indio-arábico con un círculo en "cero partido con una raya". Desmostró que el cuadrado de un número (+ o - ), la raíz de un número positivo tiene dos valores y no existe raíz de número negativo porque el número negativo no se encuentra elevando al cuadrado.
     • ITALIANOS
       • Año 1501
         • Cardano
           • CARDANO. Nació en Pavia, Italia. Fue un matemático de Renacimiento además de médico. Es conocido por ser el primero en publicar una solución general completa de la ecuación de tercer grado y de cuarto grado.
         • Nicoló Fontana Tartaglia
           • TARTAGLIA. Nació en Venecia, Italia. Fue un matemático e ingeniero, apodado "Tartaglia" a causa de su Tartamudez. Inventó un método similar ala fórmula para el cuadráticas, para resolver ecuaciones de tercer grado.
       • Año 1526
         • RAFAEL BOMBELLI. Nació en Bolonia, Italia.  Fue un matemático e ingeniero hidráulico. Su obra "Algera" fue uno de los textos matemáticos de referencia europea. Fue el inventor de números complejos, plateó  que como -2 +raíz de -121 y -2-raíz de -121 solo se diferencian en un signo, lo mismo debía suceder con sus raíces cúbicas.
     • FRANCESES
       • Año 1595
         • ALBERT GIRARD. Nació en Saint-Mihel, Francia. Fue un matemático y tuvo razonamientos tempranos sobre los Teoremas fundamentales de álgebra. Inventó que las ecuaciones con "n" grados tenían "n" raíces.
       • Año 1596
         • RENÉ DESCARTES. Nació en Turena, Francia. Fue un matemático, filósofo(padre de la filosofía moderna). Bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos números. También apuntó que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado.
     • ALEMÁN
       • Año 1777
         • CARL FRIEDRICH GAUSS. Nació en Brunswick, Alemania. Fue un matemático, astónomo y físico que contriuyó alos números,álgebra, geometría. Fue el primero en comproar el teoremade números complejos utilizando álgbra.
     • IRLANDÉS
       • Año 1805
         • WILLIAM ROWAN HAMILTON. Nació en Dulin. Fue un matemático, físico y astrónomo. Fue quien dio la primera definición algebráica rigurosa de los números complejos como pares de números reales.
   • 1- NECESIDAD DE LOS COMPLEJOS. EL NÚMERO i
     • En los números reales, la ecuación x cuadrado +1=0 no tiene solución.  El conjunto de números complejos va a ser C. Dos número complejos son iguales si tienen iguales sus parter reales y sus partes imaginaris.En los números complejos, la misma ecuación, si tiene solución:i cuadrado = -1 <-> i = raíz de -1                   -> x cuadrado + 1 = 0                   -> x cuadrado = -1                    -> x +/- raíz de-1                      -> +i y -i
   • FORMA BINÓMICA.
     • Un complejo en forma binómica es igual a:   z= x + iy Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos Y si la parte real es nula, entonces el número será imaginario puro.
     • PARTE REAL
       • Parte real= Re En z= x + iy, la parte real es x. Si Im (z)= 0, z es número real.
     • PARTE IMAGINARIA
       • Parte imaginaria= Im En z= x + iy, la parte imaginaria es iy. Si Re (z)= 0, z es número imaginario.
     • OPERACIONES
       • SUMA Y DIFERENCIA
         • SUMA Y DIFERENCIA. La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los sumandos. ( 3 + 2i) + (-5 +7i) = -2 + 9i La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (-1 + 3I) - (-2 + 9i)= -1 -6i
       • PRODUCTO
         • PRODUCTO. El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que   i cuadrado= −1. (-1 +2i) · (3 - 5i)= = -3 +5i + 6i - 10i cuadrado= = -3 + 10 + 11i= =  7 + 11i
       • DIVISIÓN
         • DIVISIÓN. En la división, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, así el denominador pasará a ser un número real. Finalmente se separan la parte real y la parte imaginaria. El conjugado (z con una arra encima) de un númer, se le pone encima una barra y cambia la parte imaginaria. 2/ 1 + i= 1-i
       • POTENCIAS DE i
         • Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Para saber cuánto vale una determinada  potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia  equivalente a la dada. i22 i22 = (i4)5 · i2 = − 1i 27 = −i Potencias:  i 0= 1 i 1= i i 2= -1 i 3= -1 i 4= 1 i 5= i  i 6= -1 i 7= -i i 8= 1
   • REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS EN EL PLANO
     • Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria.
     • EJE DE ABCISAS
       • En el eje de abcisas, representaremos la parte real. El conjugado de Z es simétrico respecto al eje real (eje x)
     • EJE DE COORDENADAS
       • En el eje de coordenadas, representaremos la parte imaginaria
   • FORMA TRIGONOMÉTRICA
     • Forma trigonométrica se llama a esta forma de expresar el número complejo, z = r (cos q + i sin q)
     • MÓDULO
       • El módulo de un número complejo se define como |z|= x cuadrado + y cuadrado y reppresenta la distancia del origen, la longitud del vector lire (x,y) de R cuadrado
     • ARGUMENTO
       • El argumento de un complejo, z distinto de 0, representa el ángulo que forma el vector de posición con el semejante de abcisas positivas. ( -180, 180] -> Argumento principal.
   • FORMA POLAR
     • La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.
     • PRODUCTO
       • La multiplicación de dos números complejos en forma polar es tal que: Su módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos. Ej: 6 45° · 3 15° = 18 60°
     • DIVISIÓN
       • La división de dos números complejos es: Su módulo es el cociente de los módulos y su argumento es la diferencia de los argumentos. Ej: 6 45° : 3 15° = 2 30°
     • POTENCIA
       • La potencia de número complejo es: Su módulo es la potencia del módulo y su argumento es n veces el argumento dado. Ej: (230°)4 = 16120°
     • RAÍZ
       • La raíz de número complejo es: Su módulo es la en raíz del módulo.
   • CÓMO PASAR DE UNA FORMA A OTRA.
     • DE BINÓMICA A POLAR
       • Para pasar de la forma binómica a la polar tenemos que calcular el módulo y el ángulo de nuestro complejo.
     • DE POLAR A TRIGONOMÉTRICA
       • Definímos forma trigonométrica como: z = r·(cos x + i·sen x), donde r es el módulo de z y x su argumento. Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x)
     • DE TRIGONOMÉTRICA A BINÓMICA
       • Obtenido ya el número en forma polar, podremos pasarlo a forma binómica sin ningún problema, pero parra realizar esta operación, hay que pasar por la forma trigonométrica y desde esta a binómica. Para calcular la parte real será: x (que será nuestro módulo) ·cos del argumento que tengamos. Para calcular la parte imaginaria sera: x (que será el módulo) · sen del argumento ·i.

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