Matrizes

Matrizes

1. Definição e Representação

   • Matrizes são tabelas organizadas em linhas (nas horizontais) e colunas (nas verticais), no formato m x n, onde m seriam as linhas e n as colunas.
   • Uma matriz qualquer representada por m x n é geralmente composta por elementos aij, onde i representa o número de linhas e j o número de colunas que localizam o valor
   • Os elementos de uma matriz costumam ser colocados entre parênteses ou entre colchetes

2. Tipos de matrizes

   • Matrizes especiais
     • Matriz linha
       • Uma matriz de apenas uma linha
     • Matriz coluna
       • Uma matriz de apenas uma coluna
     • Matriz nula
       • Uma matriz com todos os elementos sendo igual a zero
     • Matriz quadrada
       • Uma matriz com igual número de linhas e colunas (2x2, 3x3, etc)
   • Matriz identidade
     • Uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1
   • Matriz triangular
     • Uma matriz na qual todos os elementos colocados em um mesmo lado da diagonal são nulos (valor igual a 0)
   • Matriz tranposta
     • Tipo que surge quando há a troca organizada das linhas e colunas de uma matriz já conhecida
     • Matrizes assimétricas
       • Matrizes quadradas em que A = -A, logo, aij = -aij
     • Matrizes simétricas
       • Matrizes quadradas em que A = A, portanto, a igualdade aij = aij é verdadeira
   • Matriz diagonal
     • Uma matriz quadrada onde os elementos fora da diagonal principal são nulos (valor igual a 0)
   • Igualdade de matrizes
     • Caso de matrizes que são do mesmo tipo e possuem os mesmos elementos

3. Operações

   • Multiplicação
     • De um número real por matriz
       • Caso onde cada elemento da matriz conhecida foi multiplicado pelo número real
         • Propriedades
           • I. A = A
             • II. -1.A = -A
               • III. 0.A = 0
                 • IV. k.O = O
                   • V. (k+p). A = k.A + p.A
                     • VI. k.(p.A) = (k.p).A
                       • VII. k.(A+B) = k.A + k.B
           • "A" é uma matriz e "k" um número real
     • De matrizes por matrizes
       • Caso de multiplicação somente possível se a primeira matriz (A) tiver um número de colunas igual ao número de linhas da segunda matriz (B)
         • Propriedades
           • I. (A+B).C = A.(B.C)
             • II. (A+B).C = A.C + B.C
               • III. C.(A +B) = C.A + C.B
                 • IV. A.I = I.A = A, sendo I a matriz de identidade
           • A, B e C são matrizes
         • Informações importantes
           • A multiplicação de matrizes não é cumulativa. Ou seja, nem sempre B.A vai ser igual a A.B. Quando ocorre de A.B ser igual a B.A, diz-se que elas comutam
             • A lei do anulamento não serve para essas multiplicações. Ou seja, A.B = O, não pode anular para A = O e B = O
               • A lei do corte não serve para essas multiplicações. Ou seja, se A.B = A.C, não é verdade que B = C
   • Subtração
     • Subtração dos elementos de duas matrizes do mesmo tipo, resultando em uma nova
   • Adição
     • Soma dos elementos de duas matrizes do mesmo tipo, resultando em uma nova