CALCULO DE ÁREAS

CALCULO DE ÁREAS

1. Utilización de las integrales

   • La integral definida es aplicable en el calculo de áreas de una función en relación a un eje del plano cartesiano o en su relación con otra función.

2. Propiedades de las integrales

   • nos dicen que el conjunto de las funciones integrables sobre un conjunto dado es un espacio vectorial, y que la integral, definida sobre este espacio vectorial (de dimensión infinita), es un operador lineal. Por otra parte, la propiedad se conoce como teorema del valor medio integral.
   • La Integral Definida de una función se usa para calcular las áreas de recintos planos, los cuales están delimitados por curvas y rectas.

3. Integrales Definidas

   • Funciones positivas
     • Sea una función , f: (a, b) --> R, es decir, definida en un intervalo. Supongamos que es positiva, es decir, f(x)≥0 que (su gráfica está por encima del eje de abscisas). Entonces, la integral definida. Por ejemplo, si la función es f(x)= x^2 y a=0 y b=1y tenemos que el área coloreada de amarillo:
   • Funciones negativas
     • Supongamos ahora que la función es negativa en el intervalo, es decir, que f(x)≤0. En este caso, la integral definida nos proporciona el área, pero, al estar la región por debajo del eje de las abscisas, la integral proporciona un valor negativo. Por ejemplo, si cambiamos la función por f(x)= -x^2, el área será:
   • Funciones de signo no constante
     • Ahora consideramos la posibilidad de que la función no sea siempre positiva ni negativa, esto es, existen algunos intervalos en los que la función es positiva y otros en los que es negativo (si la función es 0, no importa si la consideramos positiva o negativa). Lo que hacemos en estos casos es calcular el área de las regiones asociadas a cada intervalo: en los intervalos en los que la función es positiva, calculamos la integral definida de la función; en los que es negativa, calculamos la integral definida de la función y cambiamos el signo. Finalmente, sumamos las áreas para obtener el área total. Por ejemplo, vamos a calcular el área de la función f(x)=x^2-2x en el intervalo (-1,1). Es fácil ver que la función es positiva en el intervalo(-1,0) y negativa en el intervalo (0,1) :
       • El área donde la función es positiva es
         • El área donde la función es negativa es:
           • Por tanto, el área total es
   • Área entre las gráficas de dos funciones
     • Supongamos ahora que tenemos dos funciones, f y g y que queremos calcular el área de la región encerrada entre ambas gráficas en el intervalo . Podemos suponer, para facilitar la comprensión, que la gráfica de f es mayor que la de g, esto es, f(x)≥g (x) y que, además, ambas son positivas. Un ejemplo de esta situación es, por ejemplo:
       • Siendo f(x)=x ,g(x)=x^2 ,a=0 y b=1 Es fácil ver que el área a la que nos referimos la podemos obtener como el área que hay entre la gráfica de f y el eje de abscisas menos el área que hay entre la gráfica de g y el eje de abscisas. Esto es, el área que buscamos es
         • Podemos encontrarnos en casos mixtos, por ejemplo: intervalos en los que ambas gráficas tienen el mismo signo, intervalos en los que no tienen el mismo signo, intervalos en los que es mayor una función que la otra... Para poder calcular el área total tendremos que descomponerla, de forma análoga a como lo hicimos anteriormente, en varias integrales.

4. Área bajo una curva

   • La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral.
   • Se conocían fórmulas para recintos de forma igual a figuras geométricas (rectangulares, triangulares, e incluso algunas de curvas específicas), pero si la curva no tenía forma regular, no se conocía, en general, su área exacta.
   • El cálculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones. Esto se trata, por ejemplo, de hallar el área encerrada bajo la curva f(x) entre los puntos a y b.
   • APLICABILIDAD: Multitud de problemas que se plantean en la vida real se resuelven calculando el área bajo la curva de una función. Ejemplos: (Espacio, Velocidad, Trabajo, Volumen, Caudal….). Se trata de encontrar el área limitada por una curva de ecuación y = f (x) continua y positiva, el eje de abscisas y dos ordenadas x=a, y x=b.

5. La solución a partir de las sumatorias

   • Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente X, Y, Z.) cuyos valores dependen de un índice (habitualmente i, j, k) que toma valores enteros el índice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se ve incrementado en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio Ejemplo:
     • Representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresión anterior se lee “sumatorio de x sin-i igual a 1 hasta n”

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