Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. Diagrama de Árvore

   • É um diagrama que facilita a enumeração de eventos relacionados.

2. Principio Fundamental da Contagem

   • Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediárias.
   • Ex1: Um homem possui 3 camisas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?
   • R: 3 * 2 = 6 maneiras diferentes.
   • Ex2: Sabendo que s placas de carro possuem 3 letras e 4 números, quantas combinações são possíveis? 
   • R: (26 * 26 * 26) * (10 * 10 * 10 * 10) Total: 175.760.000 Obs: 26 é a quantidade de letras e 10 é a quantidade de números
   • Ex3: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 1, 2, 3, 4 e 5?
   • R: 5 * 4 * 3 = 60 casos distintos

3. Arranjos

   • Os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
   • Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjo.
   • A ordem dos elementos é importante? Se sim, ARRANJO!!! 
   • Com Repetição
     • É quando o problema permite a repetição de um mesmo valor.
     • Formula: (AR)n,r = n^r
     • Ex1: Quantos números de três algarismos é possível formar com os números 1, 2, 3 e 4? (AR)4,3 = 4^3 = 64
   • Simples
     • Se tivermos grupos sem repetição, teremos arranjos simples.
     • Formula: A n,p = n! / (n - p)!
     • Ex1: Quantos números de três algarismos distintos é possível formar com os números 1, 2, 3 e 4? A 4,3 = 4! / (4 - 3)! = 24

4. Permutação

   • A ordem é importante e todos os elementos serão agrupados de uma vez? PERMUTAÇÃO!!!
   • Permutação é a distribuição dos elementos em uma nova ordem.
   • É um caso da análise combinatória, onde os elementos já tem uma posição pra ser preenchida.
   • Simples
     • Uma permutação onde não há repetição dos elementos. Formula: Pn = n! 
     • Ex1: De quantas maneiras é possível organizar as letras A, B, C, D, E? R: 5! = 120
     • Ex2: Quantos anagramas da palavra VENTILADOR têm as vogais juntas? R: 7! * 4!
   • Com Repetição
     • Considere um conjunto onde haja n elementos. Se houver elementos repetidos do mesmo tipo, o número de permutações possíveis é:  Formula: Pnx = n! / x! 
     • Ex1: Quantos anagramas possui a palavra banana?  R: P = 6! / 3! * 2! = 60
     • Ex2: Quantos anagramas possui a palavra bagaça?  R: P = 6! / 3! = 120
     • Ex3: Quantos anagramas possui a palavra abacaxi? R: Px,n = 7! / 3! = 840
     • Ex4: Quantos anagramas possui a palavra araraquara? R: Px,n = 10! /  5! * 3! = 5040
     • Ex5: Quantos anagramas possui a palavra macaco? R: Px,n = 6! /  2! * 2! = 180
   • Circular
     • É composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma circunferência. Formula: Pc(m)  = (m - 1)!
     • Ex1: Oito pessoas sentaram em uma mesa com exatamente 8 lugares. De quantas formas diferentes poderão estar dispostos na mesa? R: P = (8-1)!  = 5040
   • Anagrama
     • É uma "arrumação" possível com as letras de uma palavra. Ou seja, trocar as letras de posições.
     • Ex1: Qual é o total de anagramas da palavra "vestibular"? R: P10 = 10! = 3.628.800
     • a) Quantos anagramas começam com vogal?  R: 4 * 9! = 1.451.520
     • b) Quantos anagramas começam com vogal e terminam com consoante? R: 4 * 6 * 8! = 967.680
     • c) Quantos começam com a silaba VES? R: 1 * 1 * 1 * 7! = 5040
     • d) Quantos possuem as letras VES juntas nesta ordem? R: 8! = 40.320
     • e) Quantas possuem as letras VES juntas em qualquer ordem? R: 8! * 3! = 241.920
     • Ex1: Quantos anagramas tem a palavra VENTILADOR? R: 10!
     • a) Quantos anagramas começam com vogal? R: 4 * 9! 

5. Combinação

   • Se em determinado grupo a ordem não for importante, teremos uma COMBINAÇÃO!!! Formula: Cn,p = n! / p! (n - p)!
   • Combinação é a ordenação de elementos não ordenados. 
   • Ex1: Existem 5 frutas distintas. Em cada caixa, é coloca 3 frutas distintas. De quantas maneira é possível colocar as três frutas em cada caixa? R: C5,3 = 5! / 3!(5 - 3)! = 10
   • Ex2: Uma classe tem 14 alunos, 8 meninos e 6 meninas. Formam-se comissões de 5 alunos e 3 alunas. O número de comissões possíveis é de? R:C8,5 = 8! / 5! (8-5)! = 56 C6,3 = 6! / 3! (6-3)! = 20  20 * 56 =  1120

6. Fatorial

   • O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre  o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! .
   • Ex1:  6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

7. Restrições

   • As restrições na análise combinatória precisam ser tratada como prioridade no momento do calculo.
   • Ex1: O primeiro elemento deve ser o número 9. Ex2: O ultimo elemento deve ser o número 6.
   • Elementos
     • Os elementos de uma restrição podem ser citados de varias formas, uma dela são as junções de elementos.
     • Ex1: Quantos anagramas a palavra VENTILADOR tem as vogais juntas em ordem alfabética? OBS: Neste caso, as vogais irão se unir e formaram apenas um elemento para o calculo. R: 7! = 5040