NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS

1. Antecedentes Históricos

   • René Descartes
     • Se le ocurrió el término "números imaginarios", así como la forma estándar de los números complejos "a + bi"
   • Leonhard Euler
     • hizo que el símbolo i represente a la expresión:
       • lo cual hizo que sea más fácil de entender
   • Carl Friedrich Gauss
     • Publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a + bi, llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos.
   • Jean-Robert Argand
     • Escribió sobre cómo trazar a números complejos en un plano y ahora ese plano es denominado diagrama de Argand.

2. Formas de Representación

   • Forma Exponencial
     • • Donde
         • r es el módulo del número complejo
         • El argumento θ es el ángulo formado entre el vector y el eje real
   • Forma Polar
     • • Donde
         • r es el módulo del número complejo
           • se obtiene:
         • El argumento θ es el ángulo formado entre el vector y el eje real
   • Forma Binómica
     • • Donde
         • El número a es la parte real del número complejo. El número bi es la parte imaginaria del número complejo.

3. Cuatro potencias de i

   • i elevado a la n puede tener 4 posibles resultados
     • • Donde n = 1, 5, 9, 13, etc.
     • • Donde n = 3, 7, 11, 15, etc.
     • • Donde n = 2, 6, 10, 14, etc.
     • • Donde n = 4, 8, 12, 16, etc.
   • Otra forma de resolver las potencias de i son con las siguientes 2 ecuaciones
     • Si n es impar:
     • Si n es par:

4. Representación Grafica

   • Se utiliza un Diagrama de Argand para representar gráficamente un número complejo
     • En este, el eje horizontal representa los números reales y el eje vertical los números complejos
       • Las 3 formas de expresar números complejos se representan de la siguiente manera:
         • Exponencial
           • Aquí se expresa igual que la forma polar, ya que tiene una magnitud y un ángulo
         • Polar
         • Binómica

5. Operaciones de los Números Complejos

   • • Multiplicación
       • Cuando se multiplican 2 números complejos, se multiplican igual que una multiplicación de binomios
     • Resta
       • Cuando se restan 2 números complejos, se agrupa la parte real y la parte imaginaria y se restan
     • Suma
       • Cuando se suman 2 números complejos, se agrupa la parte real y la parte imaginaria y se suman
     • Igualdad
       • Dos números complejos son iguales si la parte real es igual y la parte imaginaria es real
     • División
       • Cuando se dividen 2 números complejos, se multiplica y divide por el conjugado del complejo del denominador

6. Aplicación en la Ingeniería

   • En ingeniería química se usa el número i ya que aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la explicación de la teoría cuántica del átomo
   • En ingeniería aeronáutica el análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado para el diseño de alas de avión. Y en aerodinámica para hallar la cantidad de velocidad de una corriente
   • En ingeniería civil las componentes reales e imaginarias se usan para facilitarel estudio de cargas sobre vigas, estudio de ondas y además se emplea en losestudios concernientes a la propagación del calor. Además, permiten calcularlas distintas variables o valores de diseño con los que se va a construir unproyecto, como, por ejemplo, cálculos de estructuras, resistencia de materialesa utilizar

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