ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2_3

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2_3

1. ESTRUCTURA DE GRUPO

   • Es la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuando dicha operación es asociativa.
     • Contiene un elemento idéntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la operación.
     • Grupo
       • Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G, *) tiene estructura de grupo si:
         • i) Para todo a, b, c pertenece G a*(b*c) = (a*b)*c
         • ii) Para todo e que pertenece a G tal que e*a = a, para todo a que pertenece a G
         • iii) Para todo a que pertenece a G, si existe â que pertenece a G tal que â*a =
         • Ejemplos de Grupos
           • El conjunto de los números enteros y la operación de adición constituyen un sistema con estructura de grupo ya que:
             • i) Para todo a, b, c que pertenece a Z : a + (b + c) = (a + b) + c
             • ii) 0 pertenece a Z y es tal que 0 + a = a, para todo a que pertenece a Z
             • iii) Para todo a que pertenece a Z, si existe -a que pertenece a Z tal que -a + a = 0
             • Por lo que (Z, +) es un grupo.
           • Otros sistemas conocidos que tienen estructura de grupo son:
             • - Los números racionales con la adición.
             • - Los números complejos con la adición.
             • - Los números complejos diferentes de cero con la multiplicación.
             • - Los polinomios con la adición.
             • - Las matrices m x n con la adición.
             • - Las matrices no singulares de orden n con la multiplicación.

2. ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO

   • Sea A un conjunto vacio
     • Y sean + y *
       • 2 operaciones binarias
         • Tienen estructura de anillo sí
           • i) V a, b, c E A
             • a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
           • iii) E inv. 0 E A tal que
             • 0+a = a, V a E A
           • ii) V a, b E A
             • a+b = b+a
           • iv) V a E A E inv. -a E A
             • tal que -a+a = 0
           • v) V a, b, c E A
             • a*(b*c) = (a*b)*c
           • vi) V a, b, c E A
             • a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
             • (b+c)*a = (b*a)+(c*a)
   • Conmutativo
     • Si V a, b E A
       • a*b = b*a
   • De Unidad
     • Si E inv. 1 E A tal que
       • 1*a = a = a*1
         • V a E A
   • Dominios Enteros
     • Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
       • con unidad de por lo menos 2 elementos
         • donde 0 dif. 1; sí
           • a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
             • se dice que
               • (A, +,*)
                 • se cumple
   • Campos
     • Es un dominio entero
     • Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
       • y sean + y *
         • 2 operaciones binarias definidas en K
           • El sistema (K, + ,*) es un campo sí
             • i) K es un grupo abeliano
               • su elemento identico se denota como 0
             • ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
             • iii) * es distributiva por
               • la izquierda y derecha sobre +

3. ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS

   • DEFINICIONES
     • FUNCIONES
       • INYECTIVA
         • PARA CADA VALOR DE Y NO CORRESPONDE UN VALOR DE X
       • SUPRAYECTIVA
         • PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
       • BIYECTIVA
         • PARA CADA VALOR DE Y EXISTE UN VALOR DE X
   • ISOMORFISMOS
     • PROVIENE DE
       • ISO = MISMO MORFO= FORMA
     • EN FORMA SENCILLA ES
       • LA IDEA DE DOS SISTEMAS TAN PARECIDOS QUE PARECIERA QUE SON LOS MISMOS
         • EN UNA FUNCION BIYECTIVA
         • EJEMPLO
   • HOMOMORFISMOS
     • Es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes.
       • UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO

4. Propiedades elementales de los grupos

   • Grupo
     • Sea el par (A ,* )
       • Todo elemento de A es invertible en A respecto *
         • Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
       • (A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
         • * es asociativa.
           • Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
         • * posee elemento neutro en A.
           • Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
       • Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
   • Subgupo
     • Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
       • Por ejemplo
         • ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).

5. OPERACIONES BINARIAS Y SUSPROPIEDADES.

   • Operación binaria
     • Una operación binaria definida en un conjunto S es una función de SxS en S. La imagen del par ordenado (a,b) bajo la operación * se representa con a*b
       • Cerradura
         • sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto de S. se dice que T es cerrado respecto a la operación * si ∀ a,b ∈ T∶a*b∈T
       • ∃ Elemento idéntico
         • sea * una operación binaria definida en un conjunto S:
           • Un elemento e ∈S es un idéntico izquierdo para * si e*a=a,∀ a∈S
           • Un elemento e ∈S es un idéntico derecho para * si a*e=a,∀ a∈S
           • Un elemento e ∈S es idéntico para * si es idéntico izquierdo e idéntico derecho.
       • ∃ Elemento inverso
         • sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y:
           • Sea e un elemento idéntico izquierdo para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso izquierdo si del elemento ¯(a )∈S si ¯a*a=e
           • Sea e un elemento idéntico derecho para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso derecho si del elemento ¯(a )∈S si a*¯a=e
           • Sea e un elemento idéntico para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso del elemento a∈S si ¯a*a=e y a*¯a=e
       • Asociatividad
         • sea * una operación binaria definida en un conjunto S se dice que * es asociativa si
           • ∀ a,b,c ∈S:a(b*c)=(a*b)*c
       • sea * una operación binaria definida en un conjunto S. se dice que * es conmutativa si
         • ∀ a,b∈S: a*b=b*a