INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRALES INDEFINIDAS

1. 1.- Integral indefinida. Definiciones Definición: Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que: F′(x) = f (x), ∀ x ∈ [a, b]

2. Se dice que una función es una primitiva de otra función

3. Métodos de integración. En este apartado vamos a ver los siguientes métodos: - Integrales que se simplifican previamente o que se descomponen. - Integrales que se transforman en inmediatas. - Integración por sustitución o cambio de variable - Integración por partes - Integración de funciones racionales

4. Por hipótesis F(x) y G(x) son funciones primitivas, entonces por definición de primitiva se verifica que F′(x) = f (x) y G′(x) = f (x), y en tal caso tenemos que: ( ) ( ) ( ( ) ( )) = ′( ) − ′( ) = 0 ′ F′ x = G′ x ⇒ F x − G x F x G x ∀ x ∈ [a, b] Pero ya hemos visto con anterioridad que si una función tiene derivada 0 en todos los puntos de un intervalo entonces dicha función es constante en dicho intervalo, luego existe C constante tal que: F(x) − G(x) = C ∀ x ∈ [a, b]

5. Llamaremos integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de la función, es decir, dada una función primitiva F(x) de f(x) entonces llamaremos integral indefinida de f(x) al conjunto: {F(x) + C :C ∈ ℜ } A dicho conjunto lo representaremos como f x dx = F x + C ∫ ( ) ( ) .

6. Integrales inmediatas. La tabla de integrales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas que ya conocemos puesto que estamos haciendo el proceso inverso

7. Si F(x) y G(x) son dos funciones primitivas de f(x) en [a, b], entonces su diferencia es una constante, es decir ∃ C ∈ ℜ : F(x) – G(x) = C, siendo C una constante, para todos los puntos de dicho intervalo..

8. Propiedades de la integral indefinida a) ∫ f ′(x) dx = f (x) + C b) ⋅ = ⋅ ∀ ∈ ℜ ∫ ∫ k f (x) dx k f (x) dx k c) ∫ ∫ ∫ ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx La demostración de estas propiedades es muy sencilla basándose en las propiedades de las derivadas.

9. Proposición: Si F(x) es una primitiva de f(x) y C es una constante, entonces F(x) + C también es una primitiva de f(x). Demostración: La demostración es evidente: Si F(x) es una primitiva de f(x) ⇒ F′(x) = f (x) ⇒ ( F x C) = F′ x + C′ = F′ x = f x ⇒ F x + C ′ ⇒ ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) es también primitiva de f(x)

10. Integrales que se simplifican previamente o se descomponen Algunas veces, antes de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de integrales más elementales. Veamos algunos ejemplos: ∫ x − dx

11. Integrales que se transforman en inmediatas Aunque parezca que son difíciles de realizar y que requieren un método laborioso, hay integrales que se pueden resolver mediante el uso de la tabla de integrales inmediatas sin más que introducir algunos cambios o modificaciones

12. Integración por sustitución o cambio de variable El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de integrar. Dada la integral ∫ f (x) dx , si hacemos el cambio de variable x = g(t), entonces tenemos que: x = g(t) y dx = g′(t)dt (derivando) por lo que la integral inicial queda transformada en ∫ ∫ f (x)dx = f (g(t))⋅ g′(t)dt

13. Integrales que se transforman en inmediatas Aunque parezca que son difíciles de realizar y que requieren un método laborioso, hay integrales que se pueden resolver mediante el uso de la tabla de integrales inmediatas sin más que introducir algunos cambios o modificaciones

14. Integración por sustitución o cambio de variable El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de integrar. Dada la integral ∫ f (x) dx , si hacemos el cambio de variable x = g(t), entonces tenemos que: x = g(t) y dx = g′(t)dt (derivando) por lo que la integral inicial queda transformada en ∫ ∫ f (x)dx = f (g(t))⋅ g′(t)dt