Matemáticas Avanzadas

Matemáticas Avanzadas

1. Números Complejos

   • El conjunto de números complejos se representa con ₵, un numero complejo se representa con z=(x,y), donde 'x' y 'y' pertenecen a todos los números reales.
     • A cada 'x' real se le asocia el num. complejo z
       • El numero complejo i=(0,1) unidad imaginaria.
         • Cada numero complejo z(x,y) se puede representar de manera algebraica z= x+iy.
           • Las propiedades de los números complejos son iguales a los números reales excepto en las divisiones.
             • El conjugado de un número complejo es x-iy
   • Forma polar de un numero complejo se define por r(cosO+isenO) =-rcos(O+(2k+1)pi)+ isen(O+(2k+1)pi)
     • z^n=r^(k)e^(ikO)

2. Regiones del Plano Complejo

   • Imz>=0
   • ReZ>=0
   • z=Re^io== circunferencia con centro en el origen
   • |z|<=R Disco con centro en el origen
   • z=zo+Re^io== Circunferencia con centro en un punto complejo
   • |z-zo|<=R==Disco con centro complejo
   • a<=ReZ<=b, c<=Imz<=d Franja de Bandas
   • |z-z1|=|z-z2|== Rect bisectriz perpendicular al segmento z1,z2

3. Condición Necesaria de Derivabilidad: Sea f(x)=u(x,y)+iv(x,y) f´(z) existe solo si en el punto z=x+iy se satisfacen:

   • du/dx=dv/dx du/dy=-dv/dx
     • Condición Suficiente de Derivabilidad: Sea f(x)=u(x,y)+iv(x,y), existen y son continuas en un entorno de z=x+iy se satisfacen en las ec. de cauhy-riemann
       • Función Analitica en un punto: Sean f(z) función de variable compleja y zo pertenece al dominio
         • Función Analitica en una Región: es toda función analitica en cada punto de la región.

4. Funciónes de Variable Complejo

   • senos,cosenos y log complejo
     • senx=(e^ix-e^-ix)/2i cosx=(e^ix+e^-ix)/2
       • logz= ln|z|+iargz
         • argz=Argz+2kPI
           • Sea f(z)funcion de variable compleja yz=re^iO