Produto de vetores

Produto de vetores

1. Produto escalar no espaço

   • Definição: Sendo os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Produto escalar é o número: u . v = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2
   • Propriedades
     • u . v = v . u
     • u . ( v + w ) = u . v + u . w
     • k * ( u . v ) = ( k * u ) . v = u . ( k * v ), com k escalar
     • u . u > 0 ( Se u não é o vetor nulo), u . u = 0 ( se u é o vetor nulo)
     • u . u = |u| * |u|
   • Definição geométrica do produto escalar: Se u e v são vetores não nulos e Θ é o ângulo entre eles, assim: u . v = |u|* |v|* cos Θ
   • Observações
     • Desigualdade de Schwarz: |u . v| <= |u| * |v|
     • Desigualdade triangular: |u + v| <= |u| + |v|, a igualdade só ocorre se u e v tem mesma direção e sentido
     • u . v > 0 se, somente se, cos Θ > 0 se, e somente se, 0 < Θ < π / 2
     • u . v < 0 se, somente se, cos Θ < 0 se, e somente se, π / 2 < Θ < π
     • u . v = 0 se, somente se, cos Θ = 0 se, e somente se, π / 2 = Θ
     • Dois vetores são ortogonais se, somente se u . v = 0

2. Definição projeção ortogonal: Dados dois vetores u e v, a projeção ortogonal de v sobre u, é vetor paralelo a u tal que v menos sua projeção se um vetor ortogonal a u.

   • Cálculo: Proj (v sobre u) = (( v . u ) / (|u|*|u|) * u

3. Produto escalar no plano

   • Todas as propriedades que são válidas no espaço, são igualmente válidas no plano

4. Produto vetorial

   • Definição: O produto vetorial de dois vetores u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2), é vetor dado por:
     • u x v = |y1 z1|* i - |x1 z1|* j + |x1 y1| * k |y2 z2| |x2 z2| |x2 y2|
   • Outra definição utilizando o teorema de laplace:
     • u x v = |i j k| |x1 y1 z1| |x2 y2 z2|
       • u x v = i * A11 + j * A12 + k * A13
   • Características vetor u x v
     • 1. vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e a v
     • 2. O sentido u x v é denominado pela regra da mão direita
       • Regra da mão direita: coloca - se o dedo mindinho da mão direita na mesma direção e sentido do vetor u, então fecha - se a mão na direção do vetor v, então o dedão indicará a posição do vetor
     • |u x v| = |u|* |v| * sen Θ, com Θ indicando o ângulo entre u e v
   • Interpretação geométrica do módulo
     • A área de um paralelogramo formado por dois vetores u e v é de terminado por: A = |u x v|
     • Propriedades
       • u x ( v + w ) = (u x v) + (u x w)
       • k * ( u x v ) = ( k * u) x v = u x (k * v), com k escalar
       • u . ( v x w ) = ( u x v ) . w

5. Produto misto

   • Chama - se produto misto dos vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), nesta ordem ao número real que: u . (v x w)
     • u .( v x w) = |x1 y1 z1| |x2 y2 z2| |x3 y3 z3|
       • Propriedades
         • 1. O produto misto muda de sinal se trocarmos a posição de dois vetores
         • 2. (u + g) . (v x w)= (u .(v x w)) + (g .( v x w ))
         • 3. u . (( v + g) x w) = u . (v x w) + u.( g x w ) u . (v x (g + w)) = u . (v x w) + u. (v x g)
         • 4. u. ( v x w) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares

6. Operações com vetores

   • u + v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
   • k*u = k*(x1,y1) = (k*x1, k*y1) , com k sendo um escalar