FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS

FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS

1. Historia Fundadores

   • Carl Friedrich Gauss (1777- 1885) – Teoria sobre Integrales complejas y sobre noción de Residuo Augustin Luis Cauchy (1789 – 1857) – Convergencia de serie de potencia Radio de convergencia Bernhan
   • Riemann(1826-1866) – Represento geométricamente los números complejos como un punto en el plano Karl Weierstrass (1815 – 1897) – Estudio la Funciones elípticas y abelianas y desde allí profundio en las variables complejas

2. Definición

   • Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z ∈D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D→ℂ. El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f. Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

3. Tipos

   • complejas exponenciales
     • A partir de esta fórmula se define la función exponencial compleja w = ez, que también se escribe ez = expz. Generalizando las propiedades ya conocidas para la exponencial real, deberá ser ex+iy = ex ·eiy y por tanto, si z = x + iy la función exponencial ez se puede expresar en función de las funciones reales ex, cosy y siny de esta manera:ez = ex(cosy + isiny).
   • complejas polinómicas
     • Las funciones polinómicas son una de las principales funciones complejas elementales. Su aspecto formal es como el de las funciones polinómicas reales f(z) = anzn + an-1zn-1 + ··· + a0, amb con la condición de que para las funciones polinómicas complejas los coeficientes ai pueden ser números complejos y que, como en el caso real, los exponentes de la variable z son números naturales. Veamos algunos ejemplos: f(z) = 3z,f(z) = 3z -2,f(z) = (3 -2i)z -(2 + 3i),f(z) = z2 -3z + 10 f(z) = 4z3 -3z2 + 7jz -j,f(z) = z8
   • complejas trigonométricas
     • Las funciones trigonométricas complejas deben ser también una generalización de las funciones reales correspondientes (seno y cosen). Sin embargo, nos encontramos con el problema de que las propiedades geométricas del plano real y en particular la definición de ángulo no se pueden extender intuitivamente al caso complejo. La generalización adecuada de las funciones seno y coseno se hará, en este caso, a partir de las fórmules de Euler: Para z ∈ C definimos las funciones trigonométricas complejas siguientes: cos z = e i z + e − i z 2 sin z = e i z - e − i z 2 i tan z = sin z cos z

4. Representación Gráfica

   • En el caso de la forma polar tenemos que cos=ar)y sin=br,entonces,a=rcosyb=rsin. Se observa quer=jzj. Yde nimos=Arg(z). El problema en general es queArg(z) es unafuncion multivariable. De esta forma, tendremos que elegir un rangode valores admisibles para.Propiedad:Arg(zw) =Arg(z) +Arg(w)

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