Integração Numérica

Integração Numérica

1. Regra do Trapézio

   • SIMPLES
     • Trata-se do caso mais simples de Fórmula de Newton-Cotes fechada. Neste caso, consideramos n=1 e temos dois nós de integração:
       • Obtemos para os valores dos pesos:
         • Isto pode ser obtido, quer através da resolução do sistema do método dos coeficientes indeterminados, quer através dos integrais dos polinómios de Lagrange, l0(x) e l1(x) .
           • Temos assim a Regra dos Trapézios (simples):
   • COMPOSTA
     • Para simplificar, consideramos que o tamanho desses sub-intervalos é constante = h. Assim, definimos h = ( b - a ) / N, onde N é o número de sub-intervalos ( = número de nós - 1), e temos:
       • Portanto, o valor do integral é igual à soma dos integrais nos sub-intervalos.
         • logo, aplicando a regra dos trapézios simples a cada um desses sub-intervalos, obtemos
           • Reparando que há termos que aparecem repetidos na soma, podemos simplificar a expressão, e obtemos a Regra dos Trapézios Composta:

2. Interpretação geométrica

   • Consideremos y=f(x)=x2. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é 2.

3. Regra 1/3 de Simpson – Regra de Simpson Simples

   • 1 intervalo [a, b] Conhecidos 3 pontos, utiliza-se P 2 (x) para aproximar f(x) no intervalo [a, b]
   • Regra 3/8 de Simpson Simples
     • 1 intervalo [a, b] Conhecidos 4 pontos, utiliza-se P 3 (x) para aproximar f(x) no intervalo [a, b]
   • Obtém-se a regra do 1/3 de Simpson
   • Regra 1/3 de Simpson repetida

4. Regra 1/3 de Simpson Composta

   • intervalos entre [a, b]. * Conhecidos 3 pontos em cada intervalo, utiliza-se P 2 (x) para aproximar f(x) neste intervalo
   • Regra 3/8 de Simpson Composta

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