EDOs

EDOs

1. Metódo 1: usando integração

   • y'=-sen(x)
   • y'=e^-3x

2. Prova "real"

   • 1. Derivar a solução até o grau da EDO
     • 2. Substituir derivadas e a função na EDO
       • 3. Verificar igualdade

3. Campos direcionais

   • Pode ser feito no Geogebra
     • Mostra as possibilidades de soluções pra EDO
       • As soluções vão variar conforme o PVI

4. Método 2: separáveis

   • Colocar f(y) e f(x) em lados opostos da igualdade
     • Ajustar os diferenciais dy e dx para o lado certo
       • Integrar normalmente
         • yy'+36x=0
         • y'sen(x)=ycos(x)
         • y'=-(x+2)y²

5. Método 3: redução a separáveis

   • u=y/x
     • du/f(u)-u = dx/x
       • Resolve por separáveis e retorna u
         • y'=ln(y^2/x^2)
         • xy'=y+xe^y/x
         • 2xyy'=y²-x²

6. Método 4: exatas

   • M(x,y)dx + N(x.y)dy = 0
     • dM/dy = dN/dx
       • du/dx = M
         • du/dy = N
           • (x-y)(dx-dy)=0
           • e^x(cos(y)dx-sen(y)dy)=0
           • 9xdx+4ydy=0

7. Método 5: redução a exatas

   • dM/dy <> dN/dx
     • R(x)=(dyP-dxQ)/Q
       • F = e^int(R(x)dx
     • R(y)=(dxQ-dyP)/P
       • F = e^int(R(y)dy
         • F*Mdx - F*Ndy = 0
           • Resolver por exatas
             • -3ydx+2xdy=0
             • x^4+y² dx - xy dy =
             • e^2x(2cosy dx - seny dy) = 0

8. Método 6: equações lineares

   • dy/dx + p(x)y = r(x)
     • y = (int e^int(pdx) * r dx + c) * e^int(-pdx)
       • y' + 4ycot(2x) = 6 cos(2x)
       • y' + y/x² = 2xe^(1/x)
       • y' + 1,25y = 5

9. Método 7: Redução a lineares (Bernoulli)

   • dy/dx + p(x)y = g(x)y^a
     • u' + (1-a) pu = (1-a) g
       • Resolve por lineares
         • Retorna u = y^1-a
           • y'+y=y²
           • y' = 5,7y - 6,5y²
           • y'+(x+1)y=e^x²*y³

10. Teorema da existência

    • Se f(x, y) for contínua em alguma região do plano xy e contiver o ponto (x , y ), então o problema de valor inicial possui pelo menos uma solução.

11. Teorema da unicidade

    • Se, além do TE, a derivada parcial de f em relação a y existir e for contínua nessa região, então a EDO pode ter no máximo uma solução