Álgebra Linear (1)

Álgebra Linear (1)

1. Matriz

   • Dimenssão
     • A[mxn]
       • onde m é a linha e n a coluna
   • Notação
     • { matriz }
     • || matriz ||
     • ( matriz )
   • Tipos
     • Nula
       • se todos elementos forem zero
     • Matriz coluna
       • A[mx1]
     • Matriz linha
       • A[1xn]
     • Matriz quadrada
       • A[nxn]
     • Matriz diagonal
       • A[nxn] & a[ij] = 0 se i != j
     • Matriz Identidade
       • A[nxn] & a[ij] = 0 se i != j & a[ij]=1 se i=j
     • Triangular Superior
       • A[nxn] & a[ij] = 0 se i > j
     • Triangular inferior
       • A[nxn] & a[ij] = 0 se i < j
     • Simétrica
       • A[nxn] & a[ij] = a[ji]
   • Operações
     • Adição
       • A[mxn] + B[mxn] = C[mxn], onde c[ij] = a[ij] + b[ij]
     • Multiplicação por escalar
       • A[mxn] * k = C[mxn], onde c[ij] = a[ij]*k
       • k(A+B) = k*A + k*B
       • (k1 +k2)A = k1*A + k2*A
     • Multiplicação de matrizes
       • O numero de coluna da primeira deve ser igual ao de linha da segunda
       • é a somatoria do produto de cada linha da primeira matriz com cada coluna da segunda
       • A dimenção da nova matriz será a qtd de linhas da primeira e a quantidade de coluna da segunda
     • Matriz transposta
       • O que é linha, vira coluna
       • (A*B)t = Bt *At
   • Aplicações

2. Vetores

   • seguimentos orientados que estão sempre no plano cartesiano
   • São usados pra representar grandezas escalares (massa, pressão, etc) e grandezas fisícas vetorias (velocidade, força e deslocamento)
   • Tipos
     • Nulo
       • v= (0, 0); v=(0, 0, 0)
     • Simétrico ou oposto
       • v= (x, y, z) e u= (-x, -y, -z)
     • Unitário
       • |v| = 1
     • Colineares
       • Apontam para a mesma direção
     • Coplanares
       • Fazem parte do mesmo plano
   • Igualdade de vetores
     • x1=x2; y1=y2; z1=z2; etc
   • Subtração de vetores
     • A=(1,2); B=(2,1); B-A = (3,-1)
   • Adição de vetores
     • x1+x2, x1+x2, z1+ z2, etc
   • Multi (Produto escalar)
     • Gera um número só
     • u=(1,2); v=(5,3); u*v = (1,2)*(5,3) = (5 + 6) =11
     • u*v = (x1*x2 +y1*y2 +z1*z2 + etc)
   • Multiplicação por um escalar
     • t=(x,y); a*t = a(x,y) = (a*x, a*y)
   • Módulo do vetor (Tamanho)
     • multiplica o vetor por ele mesmo e coloca da raiz quadrada
     • u=(5, 6); |u| = sqrt((5,6) * (5,6)) = (sqrt(25+36)) = sqrt(61)
   • Ângulo entre dois vetores
     • cos θ = u*v / (|u| * |v|)
   • Vetores colineares(Paralelismo)
     • u=(x1,y1); v=(x2,y2); x1/x2 = y1/y2
   • Vetores ortogonais (R2)
     • quando dois vetores formam um ângulo de 90º
     • o produto escalar desses dois vetores é 0
   • Vetores Perpendiculares
     • o produto escalar desses dois vetores também é 0
   • Projeção ortogonal entre 2 vetores
     • proj(u)w = (w*u/u*u)*u
     • faz o x do vetor u ficar mais próximo do x do vetor v