Integral Tripla

Integral Tripla

1. Definição

   • São definidas para funções de três variáveis. Inicialmente, vamos supor que f está definida sobre a caixa retangular

2. Integral tripla de Riemann

   • Se a sequencia {Sn} das somas de Riemann da função f converge quando tende para +∞ e este limite e independente da escolha dos pontos (xi , yj , zk) nos subparalelepıpedo
     • Teorema 1
       • Toda função contınua definida numa região fechada e limitada S ⊂ R3 e integravel sobre S.
       • Teorema 2
         • Seja S uma região fechada e limitada do espaço (R3). Se f e contínua, exceto num conjunto de volume nulo, então f ´e integravel em S.

3. coordenadas cilíndricas

   • Mudança de coordenadas de Coord. Cartesianas a cilíndricas
     • Pode-se também chegar ao resultado por considerações geométricas.

4. Teorema de Fubini

   • O teorema de Fubini a partir das integrais triplas, pode-se representar através das integrais iteradas com três variáveis. Podendo ser expressas da seguinte forma:
     • Onde D é a região de integração (representada por uma caixa retangular ou paralelepípedo), e os limites de integração representados por:
       • Exercício;

5. Extensão do Teorema de Fubini para Integrais Triplas

   • Se optar-se pela projeção no plano xy, a variável dependente será z, que vai variar entre superfícies. No caso do tetraedro sólido, podemos representar sua projeção no plano xy da seguinte forma:

6. coordenadas esféricas

   • Sabe-se da transformação de coordenadas Cartesianas a esféricas
     • Pode-se também chegar ao resultado por considerações esfericas.
       • Exercicio; Calcule o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a centrada na origem.

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