Elipse

Elipse

1. Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

2. Elementos

   • Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
   • Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
   • Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
   • Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
   • Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
   • Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
   • Focos: Son los puntos fijos F y F'.
   • Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
   • Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
   • Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
   • Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

3. Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

   • La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por: (x−x0)2/a2+(y−y0)2/b2=1 Donde: x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse a : Semieje de abcisas b : Semieje de ordenadas.
   • Ejemplo. Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.
     • Dado que sabemos que el eje mayor (2·a) es 10: 2a = 10 ⇒a = 5 Y que la distancia focal (2·c) mide 6: 2c = 6 ⇒c= 3 Partiendo de estos datos, podemos calcular la longitud del semieje menor (b) por medio de la siguiente ecuación: b2=a2−c2 ⇒ b2=52 −32 ⇒ b=√ 25−9⇒ b = ±4 Dado que no puede existir una longitud negativa nos quedaremos con que b = 4. Utilizando ahora la fórmula de la ecuación de una elipse de eje mayor horizontal situada en el punto P(0,0) o lo que es lo mismo x0 = 0 e y0 = 0. (x−x0)2/a^2+(y−y0)2/b^2=1 ⇒ (x−0)2/5^2+(y−0)24^2=1⇒ x^2/25+y^2/16=1

4. Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

   • La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por: (x−x0)2/b2+(y−y0)2/a2=1 Donde: x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse a : Semieje de abcisas b : Semieje de ordenadas.
   • Ejemplo. Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.
     • Dado que su eje mayor es vertical (2a) y teniendo en cuenta que mide 20 se cumple que: 2a = 20 ⇒ a = 10 Por otro lado sabiendo que el eje menor (2b) es 16: 2b = 16 ⇒ b = 8 Por último, sabiendo que a = 10 y b = 8 y que la elipse está centrada en el punto P(-1,2), obtenemos que su ecuación es: (x−x0)^2/b^2+(y−y0)2/a^2=1 ⇒ (x−(−1))^2/8^2+(y−2)^2/10^2=1 ⇒ (x+1)^2/64+(y−2)^2/100=1

5. Excentricidad de la elipse

   • La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro de la elipse. e=√1−b^2/a^2
   • Ejemplo: Dada la siguiente ecuación de una elipse determina su excentricidad. x^2/16+y^2/4=1 Solución Sabiendo que la excentricidad e de una elipse se obtiene por medio de la siguiente expresión: e=√1−b^2/a2 Y que si observamos la ecuación el mayor valor se encuentra bajo la x, podemos deducir que la elipse posee su eje mayor horizontal. Este tipo de elipses posee la siguiente ecuación general: (x−x0)^2/a^2+(y−y0)^2/b^2=1 ⇒ Por tanto: e=√ 1−b^2/a^2⇒ e=√1−4/16 ⇒ e=√3/4

6. Ejemplos en la vida cotidiana

   • Rueda excéntrica y biela. Permite convertir el movimiento giratorio de un eje en un movimiento lineal y viceversa.
   • Engranajes. Los cuales encierran un volumen fijo de un fluido y la rotación del engranaje bombea dicho fluido hacia otra dirección de manera conveniente.
   • Algunas máquinas de gimnasia poseen poleas elípticas, así a través de sus poleas puede transmitir una fuerza y permitir ejercitar a un atleta.

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