Transformação Linear

Transformação Linear

1. Definição

   • Uma transformação linear T é uma função de u em v.
     • Condições
       • 1. T(U+V)=T(U)+T(V) 2. T(αU)=αT(U)

2. Transformações Lineares Especiais

   • Transformação Identidade
   • Transformação nula
   • Projeção ortogonal do R^2 no eixo x

3. Propriedades

   • 1. T(0)=0 2. T(αu + βu)=αT(u) + βT(v)

4. Operações com Transformações Lineares

   • Adição: (T1+T2)(u)=T1(u)+T2(u)
   • Multiplicação por Escalar: (αT)(u)=αT(u)

5. Aplicação Composta

   • (T2°T1)(u)=T2(T1(u))
   • Propriedades
     • a) S1°(T1+T2)=S1°T1+S2°T2 b) (S1+S2)°T2=S1°T1+S2°T2 c) α(S1°T2)=(αS1)°T2=S1°(αT2) d) T1°T2≠T2°T1 e)T1°T1 é representada por T1^2

6. Existência e Unicidade da Transformação Linear

   • T(u1)=v1, T(u2)=v2,...,T(un)=Un

7. Imagem

   • A imagem de T é o conjunto dos vetores v E V tais que existe um vetor u E U que satisfaz T(U)=V.
   • Representação
     • Im(T)={v E V|;T(u)=v, uE V}

8. Núcleo

   • Definição
     • O núcleo de T, denotada por ket(T) ou N(T), é o conjunto dos vetores u E v tais que satisfaz T(u)=0, isto é, o conjunto de todos os vetores que são levados no vetor nulo de V.
   • Representação
     • ker(T)={u E U|; T(U)=0 E V}
   • Teorema (Núcleo e imagem)
     • dim U = dim ker(T) + dim Im (T)

9. Matriz de uma Transformação Linear

   • 1) A matriz A define uma transformação linear T:R^n -> R^m por T(x)= Ax 2) Se T:U->V é uma transformação linear, onde U e V são espaços veotriais de dimensão finita. Então, T pode ser representada por uma matriz A em relação a bases fixas, B e B', de U e V.