Matemática Computacional

Matemática Computacional

1. Erros

   • Por definição, Erro é a diferença entre um valor calculado analiticamente e o seu correspondente determinado de forma numérica. A aplicação de métodos numéricos normalmente gera resultados aproximados... O conhecimento dos tipos de erros irá auxiliar na resolução de problemas de Engenharia empregando métodos numéricos.
   • Modelagem
     • Um modelo é uma representação matemática do problema físico sob estudo. Escolha do modelo:  completo e correto;  computacionalmente viável.
     • Simplificação
     • Medição
   • Resolução
     • Propagação
       •  Efeito da utilização de valores previamente calculados em novos cálculos.   Pode comprometer a precisão do resultado, levando a valores absurdos
     • Arredondamento
     • Métodos Numéricos
     • Máquinas Digitas
     • Truncamento
       • Ocorre quando o somatório dos termos de uma série infinita é aproximado usando uma série finita (ou truncada).
   • ALVO
     • Os erros relacionados tanto aos cálculos como as medidas podem ser caracterizados com relação à...
     • Acurácia
       • mede quão próximo um valor calculado ou medido está do valor verdadeiro.
     • Precisão
       • mede quão próximos os valores individuais calculados ou medidos estão uns dos outros.

2. Séries

   • Taylor

3. Métodos

   • Analítico
   • Numérico
     • É um conjunto de métodos que determinam a solução de um problema matemático numericamente, em contraste à solução analítica. Utilizados quando a matemática simbólica é ineficiente;  Aplicação cansativa e sujeita a erros;  A solução obtida é, via de regra, aproximada.
     • Computacional
       • O advento dos computadores viabilizou a utilização do Cálculo Numérico em larga escala; Permitiu a otimização dos métodos já conhecidos e o desenvolvimento de outros novos;  Introduz restrições devido à utilização de máquinas digitais;  Exige análise e interpretação dos resultados obtidos.
     • Raízes
       • 1. Isolamento da raiz: Aproximação grosseira para a raiz de interesse 2. Refinamento da raiz: “Melhoria” do valor da raiz encontrado no passo anterior
       • • Busca determinar um intervalo onde a raiz de interesse está confinada; • O isolamento determina qual das raízes terá seu valor calculado; • Existem diversos métodos para o isolamento de raízes. Empregaremos o método gráfico. Simplicidade; Universalidade; O comportamento da função é conhecido.
       • Bissecção
         • • Método simples de refinamento de raiz; • Necessita de intervalo que contenha uma única raiz; • Princípio de funcionamento: ◼ toma-se o intervalo e divide-o ao meio, gerando dois subintervalos; ◼ verifica-se em qual dos subintervalos gerados encontra-se a raiz; ◼ repete-se o processo com o subintervalo onde se encontra a raiz até obtê-la de forma exata ou aproximada, de acordo com a precisão desejada.
       • Newton
         •  Método para refinar raízes de equações em intervalos;  Geralmente apresenta convergência mais rápida que o Método da Bissecção No entanto, a convergência nem sempre é garantida! 
         •  Princípio de funcionamento:  Traça-se uma reta tangente ao gráfico da função ?(?) no ponto de abcissa ?0, adotado como primeira aproximação para a raiz procurada;  A intersecção desta reta tangente com o eixo ?? será uma nova aproximação para a raiz procurada;  Repete-se o processo até que seja obtida exatamente a raiz procurada ou sua aproximação com a precisão desejada. 

4. Sistemas Lineares

   • Sistema de equações lineares ou Sistemas Lineares: conjunto de m equações lineares a n variáveis envolvidas.
   • A solução de um sistema linear é uma solução simultânea para todas as equações lineares envolvidas! m > n: em geral, não há solução m < n: Infinitas soluções m = n: Pode ocorrer solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções (SERÁ APENAS ABORDADOS ÚNICA SOLUÇÃO)
   • Métodos
     • Direto (Eliminação Gaussiana)
     • Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel)

5. Equações

   • Algébricas
     • As equações algébricas são aquelas que, como o próprio nome indica, envolvem somente operações algébricas polinomio de grau n
   • Transcendentes
     • Equações não-algébricas: incluem funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas as equações transcendentes são as que envolvem outras operações e funções.
   • Lineares
     • São combinações lineares das n variáveis envolvidas, ou seja, somas ponderadas das variáveis: 2x-y=3 a1x1+a2x2+a3x3=b a1x1=b

6. Cálculo

   • Integração Numérica
   • Representação
     • Discreto
       • Forma de escrever o fenômeno com valores tabelados
     • Analítico
       • Forma que o fenômeno se apresenta como uma função