TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES

1. dos condiciones para que una transformacion sea lineal

   • (1) T(u + v) = Tu + Tv
   • (2) T(αv) = αTv

2. Notación

   • se escribe T: V → W para indicar que T transforma el espacio vectorial V en el espacio vectorial W.

3. suele llamárseles operadores lineales o aplicaciones lineales

4. Transformación lineal de R^2→ R^3

   • es lineal si

5. La transformación cero

   • Sean V y W espacios vectoriales y definida: T: V→ W por Tv= 0 para todo v en V. entonces T (v_1+ v_2 )=0=0+0=〖Tv〗_1+ 〖Tv〗_2 y T(⍺v)=0 =⍺0= ⍺Tv

6. La transformación identidad

   • Sea V un espacio vectorial y definida I: V→ W por Iv= v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal
     • denomina transformación identidad u operador identidad.

7. Transformación de reflexión

   • Sea T: R^2→ R^2 definida por:
     • Es lineal, en términos geométricos, T toma un vector en R^2 y lo refleja respecto al eje y

8. Transformación de R^n→ R^m dada por la multiplicación por una matriz de m X n

   • Sea A una matriz de m X n y definida T: R^n→ R^m por Tx = Ax
     • Como A(x + y) = Ax + Ay y A(⍺x) = ⍺Ax si x y y están en R^n, se observa que T es una transformación lineal.

9. Transformación de rotación

   • . La transformación lineal T: ??→ ?? definida por Tv = ??v, donde ?? esta dada por la ecuación

10. Transformación de proyección ortogonal

    • Sea H un subespacio de R^n. La transformación de proyección ortogonal p: V→ H se define por Pv = proy_Hv
      • Como (〖(v〗_1+ v_2) . u= v_1 .u+ v_2 .u y (⍺v) . u = ⍺(v . u), se ve que P es una transformación lineal

11. Operador de transposición

    • Defina T: M_mn→ M_nm por T(A)= A´. Como (A + B)´ = A´ + B´ y (⍺A)´ = ⍺A´, se ve que T, denominado operador de transposición, es una transformación lineal.

12. Operador diferencial

    • Suponga que D: C^1 [0,1]se define por Df = f´
      • Como (f + g )´= f´+ g´ y (⍺f )´= ⍺ f´ si f y g son diferenciales, se ve que D es lineal

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