Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes

1. ¿Qué son?

   • Se llama matriz de orden m × n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y en n columnas, de la forma:
     • Las matrices se representan por letras mayúsculas A, B, C,… Los elementos de la matriz (los números) se representan en general por aij, donde los subíndices i (filas) y j (columnas) nos dan la posición que ocupa el término.

2. Giselle Ortiz Montiel

3. Tipos de Matrices

   • Matriz fila: Es aquella que sólo tiene una fila
     • Matriz columna: Es la que sólo tiene una columna.
       • MATRIZ CUADRADA: Aquella que consta de igual número de filas que de columnas. Si es nxn se dice que es de orden ‘n’. Diagonal principal de una matriz cuadrada: El conjunto de los elementos que tienen iguales sus dos subíndices.
         • MATRIZ NULA: Cuyos elementos son todos ceros.
           • MATRIZ DIAGONAL: Es la matriz cuadrada cuyos elementos son todos ceros, excepto los de la diagonal principal.
             • Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales
               • Matriz Unidad (Identidad): Es la matriz escalar en la que los elementos no nulos son iguales a 1. Se representa por I.
                 • MATRIZ TRIANGULAR: Es aquella matriz cuadrada es la que todos los elementos por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.
                   • MATRIZ SIMÉTRICA: Es aquella matriz cuadrada es la que se cumple: aij = aji
                 • MATRIZ INVERSA: Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por A^-1: A.A^-1. A= I
                   • PROPIEDADES: La inversa de la inversa es la matriz dada. La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta.

4. Operaciones

   • Suma: Dadas dos matrices A y B de dimensión m x n , se define la suma de matrices como (A+B) aquella matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la misma posición: C = A+B --> cij = aij+bij
     • PRODUCTO DE UN NÚMERO (ESCALAR) POR UNA MATRIZ: El producto de un número real k por una matriz A=(aij) es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son los productos de los elementos de la matriz A por el número k.
       • El producto de un número por una matriz tiene las siguientes propiedades: - Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices. K.(A+B)= K.A+K.B - Propiedad Distributiva respecto de la suma de números: (K.l).A= K.A+l.K Propiedad Asociativa mixta: K.(L.A)=(K.L).A -Tiene elemento unidad: 1.A=A
       • IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxny pxqson iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bijpara cualquier par i,j.
         • PRODUCTOS DE MATRICES: Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B.  El resultado es una matriz de tamaño mxp.
           • Propiedades del producto: -Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C -No es conmutativa: A.B ≠B.A -Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). -Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C -Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre.
           • POTENCIA DE UNA MATRIZ: Consiste en multiplicar la matriz por sí misma tantas veces como indique el exponente
   • MÉTODO DE GAUSS-JORDAN: Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación, se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) →las mismas operaciones en ambas → ( I | A–1 )
     • Transformaciones elementales por filas son: -Permutar dos filas i y j. -Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a≠0. -Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j multiplicada por un número b.
       • Pasos: -1. Transformar los elementos de debajo de la diagonal a 0. -2. Transformar los elementos de encima de la diagonal a 0. -3. Multiplicar cada fila por el número que corresponda para transformar la diagonal en 1.
   • Combinaciones lineales: -Una combinación lineal (C.L.) de varias filas o columnas de una matriz, es el resultado de multiplicar cada una por un número y después sumarlas. -Varias filas o columnas son linealmente dependientes (L.D.) cuando alguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras. -Varias filas o columnas son linealmente independientes (L.I.) cuando ninguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras.
     • EJEMPLO: Sean las pares (3, 4) y (1, -5). Hallar otro par que sea combinación lineal de las dadas. (x, y) = 5. (3, 4) + (- 1). (1, -5) = (15, 20) + (-1, 5) = (14, 25)

5. RANGO DE UNA MATRIZ: Llamamos rango de una matriz al máximo número de filas que son linealmente independientes. TEOREMA DEL RANGO En una matriz el número de filas linealmente independientes siempre coincide con el número de columnas linealmente independientes. El rango de una matriz es el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes. Este máximo número es llamado rango de A, que se expresa como Rg(A).

   • RANGOS POR MÉTODO DE GAUSS: La forma más adecuada de determinar el rango de una matriz es convertirla en una matriz escalonada equivalente mediante el Método de Gauss. Este método nos permitirá saber el rango de una matriz, y lo que es más interesante aún, nos dará una matriz equivalente con la que trabajaremos más cómodamente.

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA: A toda matriz cuadrada 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 de orden 𝑛, se le asocia un número real llamado determinante de A, que se denota como: det(𝐴) o bien |𝐴|. Determinante de orden 3: Para calcular determinantes de orden 3×3, aplicamos la Regla de Sarrus.

   • Propiedades clave de los determinantes: -1. |𝐴|=|𝐴𝑡|(El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta). -2.Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante es 0. -3.Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es 0. -4.Intercambio de líneas:Si se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. -5.Combinación lineal:Si una fila (o columna) es combinación lineal de otras filas (o columnas), el determinante es cero.
     • -6.Multiplicación por un escalar (una fila/columna):Si se multiplican todos los elementos de una sola fila (o columna) por un número 𝑘, el determinante queda multiplicado por 𝑘. -7.Multiplicación de toda la matriz por un escalar:Si 𝐴es de orden 𝑛: |𝑘⋅𝐴|=𝑘𝑛⋅|𝐴| -8. Operaciones elementales:Si a una fila (o columna) se le suma otra multiplicada por un número, el determinante no varía. -9.Producto de matrices: |𝐴⋅𝐵|=|𝐴|⋅|𝐵| -10.Criterio de existencia de inversa: Existe𝐴−1⟺|𝐴|≠0y, además, |𝐴−1|= 1 |𝐴|
       • Menor complementario y adjunto de un elemento ▪ Menor complementario (𝑀𝑖𝑗):Es el determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila 𝑖y la columna 𝑗de la matriz original. ▪ Adjunto (𝐴𝑖𝑗):Es el menor complementario precedido del signo −1 𝑖+𝑗

7. Matriz inversa mediante determinantes: Dada una matriz cuadrada 𝐴con |𝐴|≠0, su matriz inversa se calcula con la fórmula

   • Procedimiento: -1. Calcular el determinante |𝐴|. Si |𝐴|=0, la matriz no tiene inversa. -2. Calcular la matriz de adjuntos Adj𝐴. -3. Trasponer la matriz de adjuntos: Adj𝐴 𝑡 .-4. Dividir cada elemento entre el valor de |𝐴|.

8. Rango mediante determinantes (regla de orlado): Menor de orden 𝑘: Determinante formado por la intersección de 𝑘 filas y 𝑘 columnas de una matriz. -Definición de Rango :El rango de una matrices el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de ella. -Método de Orlado: ▪ Paso 1:Buscar un elemento distinto de cero ⟹Rg𝐴 ≥1. -Paso 2: Buscar un menor de orden 2 no nulo ⟹Rg𝐴 ≥2. -Paso 3 (Orlar):Añadir una fila y una columna a ese menor de orden 2 para formar menores de orden 3. Si todos los menores de orden 3 orlados son 0 ⟹Rg𝐴 =2. Si al menos uno es diferente de 0 ⟹Rg𝐴 ≥3.

   • Regla práctica: ▪ Si encontramos un menor de orden 𝑘distinto de cero ⟹Rg𝐴 ≥𝑘. ▪ Si todos los menores de orden 𝑘+1son cero ⟹Rg𝐴 =𝑘.

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