Teoria Preliminar: Ecuaciones Diferenciales deOrden Superior

Teoria Preliminar: Ecuaciones Diferenciales deOrden Superior

1. Problema de valores en la Frontera (PVF)

   • Esta sujeto a las condiciones de frontera.
   • Puede tener una, ninguna o varias soluciones.

2. Problema de Valor Inicial (PVI)

   • Teorema 3.1 Existe una unica solucion a un problema de valor inicial.

3. Ecuaciones Homogéneas (Igualadas a cero)

   • Teorema 3.2 Principio de Superposición: si un conjunto de funciones es solucion del sistema homogéneo, entonces su combinación lineal también lo es.
     • Dependencia e Independencia lineal: Un conjunto de funciones es dependiente si existen constantes no todas cero tal que su combinación lineal sea igual a cero, de lo contrario son independientes.
   • Operadores Diferenciales
     • En cálculo la diferenciación se denota con "D".
     • Y definimos con "L" un operador diferencial de n-ésimo orden. En este caso L es un operador lineal.
   • Wronskiano: Es el determinante de una matriz de n funciones donde cada fila es la derivada de la fila anterior hasta n -1 derivadas.
     • Teorema 3.3 Criterio para soluciones linealmente independientes: El conjunto de soluciones de una ecuacion homogenea es linealmente independiente si y solo si el Wronskiano es distinto de cero para toda "x" en el intervalo.
       • Si conjunto de soluciones es linealmente independiente entonces se dice que es un conjunto fundamental de soluciones.
         • Teorema 3.4 Existe un conjunto fundamental para la ecuación diferencial lineal homogénea.
         • Teorema 3.5 Solución General de una ecuación homogénea: Esta es la combinación lineal del conjunto fundamental de soluciones.

4. Ecuaciones No Homogéneas (Igualadas a una funcion g(x))

   • Solución Particular o Integral Particular: Es toda función libre de parámetros arbitrarios que satisfaga la ecuación no homogénea.
     • Teorema 3.6 Solución General de Ecuaciones No homogéneas. Es la solución general de la ED homogénea asociada más una solucion particular de la ED no homogénea.
       • Función Complementaria: Es la solución general de la ED homogénea asociada.
         • Entonces la solucion general de una ED no homogénea es = función complementaria + cualquier solucion partiicular.
     • Teorema 3.7 Principio de Superposición. Si un conjunto de funciones son soluciones particulares de la ED no homogénea entonces su combinación lineal también es una solución particular de la misma.