LÍMITES - created from Mind Map

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CONTINUIDAD

LIMITES INFINITOS

ASINTOTAS

DESCONTINUIDADES:

LÍMITES LATERALES

DEFINICIÓN

PROPIEDADES

LIMITES AL INFINITO

EN UN PUNTO

EN UN INTERVALO

La continuidad en un punto estudia si una función es continua en un punto. También se puede estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto. Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito (límites al infinito).

tipos de límites:

Límite = +∞ cuando x → a Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) > f(a). Como se ve en la figura:

Límite = +∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).

Límite = -∞ cuando x → a Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) < f(a). Como se ve en la figura:

Límite = +∞ cuando x → -∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).

Límite = -∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) < f(a).

Límite = -∞ cuando x → -∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) < f(a).

Una asíntota a una curva es una línea recta a la cual la curva se le acerca sin cruzarla. Si fuéramos lo suficientemente lejos a través de la línea, la curva estaría arbitrariamente cercana a la línea.

Un ejemplo sencillo es la gráfica de y = 1 / x . Esta curva tiene asíntotas en ambos ejes, en el eje de las x y en el eje de las y .

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto

Discontinuidad infinita

En este caso no se cumple la condición (a) de la definición de continuidad, es decir que existe el límite finito L de f(x) en x=a, pero f(x) no está definido en a. También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y , pero no coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando como valor de la función el resultado del límite.

existen los límites laterales pero son distintos.

al menos 1 de los límites laterales no existe

Los límites laterales son funciones que presentan discontinuidades, también llamadas funciones descontinuas. En estas funciones se pueden aproximar a un mismo punto por lados opuestos, a veces suelen ser funciones sin solución (que no existen), pero en otras ocasiones se obtiene resultados muy interesante.

El limite de una función en un punto "a" es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada "y") a medida que la coordenada X se aproxima a "a".

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se les denomina álgebra de los límites.

Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito o puede diverger a infinito (límite infinito).

tipos de límites:

Límite finito L cuando x → +∞ Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a +∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno, haciendo la variable x tan grande y positiva como se quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera. Como se ve en la figura:

Límite finito L cuando x → -∞ Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a -∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno, haciendo la variable x tan grande y negativa como se quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera. Como se ve en la figura:

Cuando x → +∞ y el límite = +∞ Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).

Cuando x → +∞ y el límite = -∞ Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.

Cuando x → -∞ y el límite = +∞ Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).

Cuando x → -∞ y el límite = -∞ Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.