Trabalho CC5 Álgebra - Determinantes

Determinantes

• DEFINIÇÃO--> É um número associado a uma matriz quadrada.
• - Podem ser:
• - Determinantes de 2º ordem:
• -> É uma matriz 2x2
• -> Produto dos elementos da diagonal principal - produto dos elementos da diagonal secundária
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• - Determinante de 3.ª Ordem:
• -> É uma matriz 3x3
• -> Regra de Sarrus:
• 1.º) Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira
• 2.º) Multiplicamos os elementos da diagonal principal e de suas duas diagonais paralelas, e depois somamos os valores.
• 3.º) Fazemos o mesmo processo com a diagonal secundária e suas duas paralelas.
• 4.º) O resultado do 2.º subtraído do resultado do 3.º passo.
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• Legenda: REGRA DE SARRUS

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• -> Regra de Chió: (método para calcular a determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 ou mais)
• 1.º) Para aplicar essa regra, a matriz deve ter no mínimo um elemento igual a 1. Assim, fixamos esse elemento e retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.
• 2.º) Em seguida, subtraímos dos elementos restantes o produto dos dois elementos correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna)
• 3.º) Por último, multiplicamos o determinante assim obtido por (-1)^i+j, onde i é a linha e j a coluna retiradas.
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• - Teorema de Laplace (normalmente utilizada para calcular a determinante de matrizes quadradas de ordem 4 ou mais)
• 1.º) Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;
• 2.º) Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
• -> Cofator--> Aij = (-1) i + j. Dij
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• - Propriedades:
• 1ª propriedade--> Quando uma matriz tiver os elementos de uma linha ou uma coluna iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
• 2ª propriedade--> Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.
• 3ª propriedade--> Quando uma matriz tiver duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero.
• 4ª propriedade--> Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
• 5ª propriedade--> Se uma matriz quadrada A for multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

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• 6ª propriedade--> O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
• 7ª propriedade--> Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.
• 8ª propriedade--> O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
• 9ª propriedade--> Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.
• 10ª propriedade--> Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B.

Referências Bibliográficas

• https://www.todamateria.com.br/determinantes/#:~:text=Determinantes%20de%202.,uma%20principal%20e%20outra%20secund%C3%A1ria.
• https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/regra-chio-nos-calculos-dos-determinantes.htm#:~:text=Em%20uma%20linguagem%20matem%C3%A1tica%2C%20a,deve%20ser%20igual%20a%201.
• https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-determinantes.htm#:~:text=a%202%C2%AA%20linha.-,N%C3%A3o%20pare%20agora...,Tem%20mais%20depois%20da%20publicidade%20%3B)&text=Ao%20multiplicarmos%20todos%20os%20elementos,determinante%20fica%20multiplicado%20por%20K.&text=Caso%20uma%20matriz%20quadrada%20A,ser%20multiplicado%20por%20kn.
• Beatriz Brando (M21), Mariana Monteiro (M21) e Marcelo Rigueti (M22) JPA