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LA PARÁBOLA

¿QUE ES?

• La Paràbola es el lugar geomètrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo denominado foco y de una recta fija conocida como directriz.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

• EL PUNTO F SE DENOMINA FOCO Y LA RECTA D ES LA DIRECTRIZ DE LA PARÀBOLA
• LA RECTA e QUE PASA POR EL F Y ES PERPENDICULAR A d SE LLAMA EJE DE SIMETRÌA
• EL PUNTO DE INTERSECCIÒN DE LA PARÀBOLA CON EL EJE DE SIMETRÌA SE DENOMINA VÈRTICE
• A LA CUERDA LR QUE PASA POR EL FOCO Y ES PERPENDICULAR AL EJE DE SIMETRÌA SE LE CONOCE COMO LADO RECTO

Ecuación ordinaria de la parábola

• Consideremos una parábola cuyo vértice V(α,β) no coincide con el origen del sistema xy :
• ¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia xyxy? No sabemos responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con VV, la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:
• y′2=4cx′
• 

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• Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en el sistema xy:
• ¿Qué coordenadas tiene el punto PP respecto de cada sistema?
• El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:
• Coordenadas de P en sistema x′y′x′y′
• Coordenadas de P en sistema xyxy
• La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:
• x′+α=xx′+α=x
• y′+β=yy′+β=y
• O reordenando:
• {x′=x–αy′=y–β{x′=x–αy′=y–β
• Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes.
• 

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• Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la expresión y‘2=4cx′y‘2=4cx′ obtenemos la ecuación en el sistema original:
• (y–β)2= 4c (x–α)
• Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(α,β)V(α,β) y eje focal paralelo al eje xx.
• Análogamente:
• (x–α)2=4c(y–β)
• Es la ecuación de la parábola con vértice V(α,β) y eje focal paralelo al eje y.
• ¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:
• Si yy está al cuadrado, entonces es horizontal.
• Si xx está al cuadrado, entonces es vertical.

EJEMPLO:

• Hallar la ecuación de la parábola de directriz x=4x=4 y foco F(–2,0)F(–2,0).
• Resolución
• Es conveniente realizar una figura de análisis que represente los datos del enunciado:
• El valor absoluto de c es la distancia del vértice al foco.
• |c|=d(V,F)|c|=d(V,F)
• El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia del foco que de la directriz:
• V=(–2+42,0)=(1,0)V=(–2+42,0)=(1,0)
• Eje focal: eje x
• Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:
• (y–β)2=4c(x–α)
• (y–0)2=4c(x–1)
• 
• Legenda: Falta calcular el valor absoluto de c |c|=d(F,V)=3 Como el foco está a la izquierda del vértice entonces c=–3 Entonces queda: y2=–12(x–1)

Ecuación general

• Partimos de la ecuación ordinaria:
• (y–β)2=4c(x–α)
• Desarrollamos cuadrado de binomio:
• y2–2βy+β2=4cx–4cα
• y2–4cx–2βy+β2+4cα=0
• Renombramos los coeficientes de la ecuación así:
• y2+Dx+Ey+F=0
• Ésta es la ecuación general. Observen que hay una única variable que está al cuadrado y la otra es lineal.
• Les proponemos las siguientes preguntas:
• Si E=0E=0, ¿dónde está ubicado el vértice?
• ¿Cuál es la ecuación general de una parábola de eje vertical?

Ejemplo:

• Analizar qué lugar geométrico representa la siguiente ecuación:
• y2+4x–2y+2=0
• ¿Qué curva representan los puntos que verifican esta ecuación? Observando que una sola de las variables está elevada al cuadrado, podemos pensar en una parábola. Deberíamos llegar al siguiente modelo:
• (y–β)2=4c(x–α)
• Primero hay que completar cuadrados en y
• y2–2y+12–12=(y–1)2–1
• Entonces
• (y–1)2–1+4x+2=0
• (y–1)2=–4x–1
• (y–1)2=–4(x+14)
• Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola que tiene V(–14,1)V(–14,1) y eje focal paralelo al eje x.

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• Concepto de parábola y sus elementos (Incorporar)

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