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• Para determinar la cardinalidad de
• (A∩B)∪Copen paren cap A intersection cap B close paren union cap C
• (𝐴∩𝐵)∪𝐶
• , podemos analizar cada parte de la expresión y sumarla, teniendo en cuenta la información dada.
• Análisis de la información
• Se nos dan los siguientes datos sobre la cantidad de elementos en las diferentes regiones de los conjuntos A, B y C:
• aa
• 𝑎: número de elementos que solo pertenecen a A.
• bb
• 𝑏: número de elementos que son comunes a A y B. Esto es la cardinalidad de la intersección de A y B, es decir,
• |A∩B|=bthe absolute value of cap A intersection cap B end-absolute-value equals b
• |𝐴∩𝐵|=𝑏.
• cc
• 𝑐: número de elementos que solo pertenecen a B.
• dd
• 𝑑: número de elementos comunes a B y C. Esto es la cardinalidad de la intersección de B y C, es decir,
• |B∩C|=dthe absolute value of cap B intersection cap C end-absolute-value equals d
• |𝐵∩𝐶|=𝑑.
• ee
• 𝑒: número de elementos que solo pertenecen a C.
• Además, se nos dice que A y C son conjuntos disjuntos. Esto significa que no tienen elementos en común, por lo que su intersección es el conjunto vacío y su cardinalidad es 0, es decir,
• |A∩C|=0the absolute value of cap A intersection cap C end-absolute-value equals 0
• |𝐴∩𝐶|=0
• .
• Cálculo de la cardinalidad
• La cardinalidad de una unión de conjuntos se puede calcular sumando las cardinalidades de cada conjunto y restando la cardinalidad de su intersección. En este caso, buscamos la cardinalidad de la unión de
• (A∩B)open paren cap A intersection cap B close paren
• (𝐴∩𝐵)
• y
• Ccap C
• 𝐶
• .
• La fórmula de la cardinalidad de la unión es:
• |(A∩B)∪C|=|A∩B|+|C|−|(A∩B)∩C|the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren union cap C end-absolute-value equals the absolute value of cap A intersection cap B end-absolute-value plus the absolute value of cap C end-absolute-value minus the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren intersection cap C end-absolute-value
• |(𝐴∩𝐵)∪𝐶|=|𝐴∩𝐵|+|𝐶|−|(𝐴∩𝐵)∩𝐶|
• Ahora, sustituimos los valores correspondientes a los términos de la fórmula.
• |A∩B|the absolute value of cap A intersection cap B end-absolute-value
• |𝐴∩𝐵|
• De la información dada, el número de elementos comunes a A y B es
• bb
• 𝑏.
• Por lo tanto,
• |A∩B|=bthe absolute value of cap A intersection cap B end-absolute-value equals b
• |𝐴∩𝐵|=𝑏.
• |C|the absolute value of cap C end-absolute-value
• |𝐶|
• El conjunto C está formado por los elementos que solo pertenecen a C (cuya cantidad es
• ee
• 𝑒) y los elementos que son comunes a B y C (cuya cantidad es
• dd
• 𝑑).
• Por lo tanto,
• |C|=d+ethe absolute value of cap C end-absolute-value equals d plus e
• |𝐶|=𝑑+𝑒.
• |(A∩B)∩C|the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren intersection cap C end-absolute-value
• |(𝐴∩𝐵)∩𝐶|
• Esta es la intersección de los tres conjuntos,
• A∩B∩Ccap A intersection cap B intersection cap C
• 𝐴∩𝐵∩𝐶.
• Dado que A y C son conjuntos disjuntos, no pueden tener elementos en común. Esto significa que no hay elementos que pertenezcan a A y a C al mismo tiempo.
• Si no hay elementos en
• A∩Ccap A intersection cap C
• 𝐴∩𝐶, tampoco puede haber elementos en
• A∩B∩Ccap A intersection cap B intersection cap C
• 𝐴∩𝐵∩𝐶.
• Por lo tanto,
• |(A∩B)∩C|=0the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren intersection cap C end-absolute-value equals 0
• |(𝐴∩𝐵)∩𝐶|=0.
• Resultado final
• Sustituyendo estos valores en la fórmula de la unión:
• |(A∩B)∪C|=|A∩B|+|C|−|(A∩B)∩C|the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren union cap C end-absolute-value equals the absolute value of cap A intersection cap B end-absolute-value plus the absolute value of cap C end-absolute-value minus the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren intersection cap C end-absolute-value
• |(𝐴∩𝐵)∪𝐶|=|𝐴∩𝐵|+|𝐶|−|(𝐴∩𝐵)∩𝐶|
• |(A∩B)∪C|=b+(d+e)−0the absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren union cap C end-absolute-value equals b plus open paren d plus e close paren minus 0
• |(𝐴∩𝐵)∪𝐶|=𝑏+(𝑑+𝑒)−0
• |(A∩B)∪C|=b+d+ethe absolute value of open paren cap A intersection cap B close paren union cap C end-absolute-value equals b plus d plus e
• |(𝐴∩𝐵)∪𝐶|=𝑏+𝑑+𝑒
• La cardinalidad de
• (A∩B)∪Copen paren cap A intersection cap B close paren union cap C
• (𝐴∩𝐵)∪𝐶
• es
• b+d+eb plus d plus e
• 𝑏+𝑑+𝑒
• .