Transformaciones lineales: definición, kernel e imagen

Transformaciones Lineales

DEFINICION

En primer lugar, una transformación lineal es una funcion. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.

PROPIEDADES DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Propiedad 1

La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo del codominio 0w:

T(0V)=0w

Demostración:

T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W

Donde hemos expresado a 0v como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

Propiedad 2

La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

T(–v)=–T(v)

Demostración:

T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Tomemos T : V -> W una transformación lineal. Hay dos conjuntos muy importantes relacionados con T.

El kernel (o núcleo) de T es el conjunto de vectores en V que se van al vector 0 de W cuando les aplicamos T. En símbolos,

Ker(T) = { v E V : T (v) = 0}

La imagen de T son los vectores en W que se pueden escribir de la forma T (v) para algún v en V, es decir, es la imagen en el sentido clásico de teoría de conjuntos o de cálculo. En símbolos,

Im(T) = {T (v) : v E V}

Haciendo énfasis de nuevo: es un subconjunto de vectores de e es un subconjunto de vectores de . Veamos un ejemplo que nos ayudará a repasar varios de los conceptos clave de esta entrada.

EJEMPLOS