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Derivación numérica

Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn).

El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene porqué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos.

La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas.

Una f´ormula de derivaci´on: f (ν (α) ' X n i=0 Ai f(xi) es de tipo interpolatorio polin´omico si y s´olo si es exacta en Pn(R).

Entonces, para el c´alculo de los coeficientes Ai impondremos la exactitud de la f´ormula sobre los polinomios x k , 0 ≤ k ≤ n, de la base de Pn(R) : X n i=0 Ai x k i = d ν dxν (x k )|x=α, 0 ≤ k ≤ n,

o equivalentemente: X n i=0 Ai x k i = 0, 0 ≤ k ≤ ν − 1, X n i=0 Ai x k i = k(k − 1). . .(k − ν + 1)α k−ν , ν ≤ k ≤ n.

(F´ormula para el error de derivaci´on) Si f ∈ C n+1([a, b]), donde [a, b] es un intervalo que contiene los nodos x0, x1, . . . , xn, entonces se tiene que el error cometido para la primera derivada en los nodos verifica la acotaci´on:

|f 0 (xi)−P 0 n (xi)| ≤ { sup ζ∈[a,b] |f (n+1(ζ)| (n + 1)! }|xi−x0| . . . |xi−xn|