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funciones reales de varias variables

funciones reales de varias variables

Sea D un subconjunto de R

n

. Una funci´on f de D en R

se llama un campo escalar o una funci´on real de n variables. La funci´on f

asigna, pues, a cada vector x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D ⊆ R

n un valor real

f(x).

La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto

Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al

conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto.

vector gradiente

Gráfica de la función escalar f (x) = x2 + y2 con sus curvas de nivel y algunos vectores representativos de su campo gradiente

vector

divergencia

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

este campo vectorial, muy bien pudiera ser un corte transversal de uno en 3D, pero no lo es, y alli esta la expresión en funcion de x, y, del campo.

Rotacional

Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero

valores extremos de funciones de varias variables

Valores extremos de funciones de varias variables. ... A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un maximo tambien se le llama un máximo absoluto. Como el calculo de una bariable. Se hace una distincion entreextremos absolutos y extremos relativos.

Las aplicaciones lineales estudiadas en el

́

Algebra Lineal son funciones de varias

variables, por ejemplo:~T:R3→R2

T(x1, x2, x3) = (2x1−x2, x1+x2−3x3)

La gráfica de una función de dos variables

puede interpretarse geométricamente como una

superficie

en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano

es ,

el dominio de .En

consecuencia, a cada punto

en

le corresponde un punto

en la superficie y, a la inversa, a cada punto

en la superficie le corresponde un punto

en

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b)

Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.

La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0),

un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).