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CONTENIDOS ESTUDIADOS SOBRE LA DERIVADA

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

En conjunto, las características de los problemas planteados pueden mostrar a la derivada desde la integración de una perspectiva analítica y gráfica (apoyándose en la presentación de la idea de derivada en un punto y de la función derivada) con el operador derivada, a través el cálculo de derivadas sucesivas y la regla de la cadena.

– Errores y dificultades en la comprensión del concepto de derivada: la noción de razón de cambio– Relación entre razón de cambio y cociente incremental

– Los sistemas de representación como herramientas para pensar sobre las derivadas

– Lo local y lo global: la relación entre la derivada en un punto f '(a) y la función derivada f '(x).– El desarrollo del esquema de derivada.

– La aplicación del concepto de derivada: el desarrollo de la comprensión de la regla de la cadena.

Si se considera que la derivada en un punto nos indica la velocidad de cambio, la comprensión de tal idea se apoya en el saber previo de la noción de la razón entre el incremento de x en relación al de y .

La relación entre razón de cambio y cociente incremental ha sido estudiada con la noción de esquema conceptual (Tall, 1989) y la teoría de la reificación (Sfard, 1992).

– Analítica: Predomina la componente lógico–verbal– Geométrica: Prevalece la componente pictórico–visual

– Armónica: Equilibrio de las dos componentes. En esta última se distinguen dos subtipos:

– Armónica abstracta: Sí puede usar soporte visual en la resolución de problemas, pero no es el preferido.

– Armónica pictórica: Sí puede usar soporte visual en la resolución de problemas y prefiere hacerlo así.

– Conocer y comprender la representación gráfica de puntos de una curva en los ejes de coordenadas. – Conocer y comprender el concepto pendiente de una línea.

– Conocer y tener una buena comprensión del concepto de función, así como una imagen bien desarrollada.

– Al construir un esquema para la derivada se deben recorrer dos caminos que están coordinados: el gráfico y el analítico.

Las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del lenguaje variacional y el cálculo diferencial e integral (en derivada Azcárate, 1990; Clark, Cordero, Cottrill, Czarnocha, DeVries, St. John, Tolias, & Vidakovic, 1997; Dolores, 1998; Baker, Cooley, & Trigueros, 2000, y Sánchez–Matamoros, 2004; funciones, a Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990, y García y Llinares, 1996; en integral, a Bezuidenhout & Olivier, 2000, y Camacho & Depool, 2002, 2003; en límites, a Cottrill, Dubinsky, Nichols, Schwingendorf, Thomas, & Vidakovic 1996; Sierra Vázquez, González Astudillo y López Esteban, 1999, y Espinoza y Azcárate, 2000; en variación y cambio, a Cantoral y Farfán, 1998), así como la experiencia de algunos de nosotros como profesores de educación secundaria –trabajando con alumnos de 12 a 18 años– nos ha permitido comprobar la dificultad de enseñar y aprender tales conceptos.

La noción de derivada de una función, junto con la de integral, son conceptos clave del cálculo. El concepto de derivada conlleva diversos aspectos: su perspectiva gráfica, como pendiente de la tangente a la curva; su perspectiva analítica, como límite del cociente incremental; su carácter puntual o global –es decir, en intervalos– y, según exija la resolución de una determinada tarea, se pueden utilizar aspectos que relacionan a f ' y f "

Los datos en que se basó el trabajo de Orton procedían de la aplicación de dos entrevistas: la primera estuvo dirigida a que los estudiantes respondieran preguntas sobre límites, áreas e integración; la segunda estaba centrada en el significado del cociente incremental, la diferenciación y aplicaciones.