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Funciones Exponenciales y Logarítmicas
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- 1UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Callao, 2026 PerúASIGNATURA: Matemática II
DOCENTE: López Salvatierra Edgar
SECCIÓN: 01E
INTEGRANTES: Lucanas Gutiérrez Gianella - 2TEMA : FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICASLas funciones exponenciales y logarítmicas son funciones matemáticas estrechamente relacionadas porque una es la inversa de la otra. Mientras la función exponencial expresa una cantidad mediante potencias, la función logarítmica permite encontrar el exponente necesario para obtener un determinado valor. Ambas se utilizan para representar fenómenos de crecimiento y decrecimiento, así como para resolver problemas relacionados con cambios rápidos en distintas áreas como economía, física, química, informática y biología.
- 3FUNCIÓN EXPONENCIALDefinición: Una función exponencial es una función matemática en la que la variable independiente aparece en el exponente. Esto hace que sus valores crezcan o disminuyan de manera muy rápida dependiendo de la base utilizada.
Su forma general es:
f(x)=a^x
donde:
- a>0
- a ≠ 1
- x es cualquier número real.
La base a determina el comportamiento de la función. Cuando la base es mayor que 1, la función crece; y cuando está entre 0 y 1, la función decrece.
Las funciones exponenciales son muy importantes porque describen procesos cuya velocidad de cambio depende del valor actual de la variable. - 4TIPOS DE FUNCIONES EXPONENCIALESa) Exponencial creciente
Ocurre cuando:
a>1
En este caso, mientras el valor de x aumenta, la función también aumenta:
2^x, 5^x, e^x
Características:
-La gráfica asciende de izquierda a derecha.
-Nunca toma valores negativos.
-Crece cada vez más rápido.
b) Exponencial decreciente
Ocurre cuando:
0 - 5PROPIEDADES DE LAS EXPONENCIALESLas funciones exponenciales cumplen propiedades algebraicas que simplifican operaciones y ecuaciones.
Multiplicación de potencias
Cuando se multiplican potencias de igual base:
a^m . a^n = a^m+n
Ejemplo:
2^3 . 2^4=2^7=128
División de potencias
a^m / a^n = a^m-n
Ejemplo:
5^7 / 5^2 = 5^5
Potencia de una potencia
(a^m)^n = a^mn
Ejemplo:
(2^3)^2=2^6=64
Exponente negativo
a^-n = 1/ a^n
Ejemplo:
2^-3 = 1 /8
Exponente cero
a^0=1
Ejemplo:
7^0=1 - 6FUNCIÓN LOGARÍTMICADefinición :La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Su objetivo es encontrar el exponente al que debe elevarse una base para obtener un determinado número.
Su forma general es:
y=log_a(x)
Esto significa:
a^y=x
Los logaritmos ayudan a trabajar con números muy grandes o muy pequeños, simplificando cálculos complejos en sumas y restas.
También son importantes en:
-escalas sísmicas, acústica, informática,
química, cálculo y estadística.
Ejemplo : log_2(8)=3
porque:
2^3=8 - 7TIPOS DE LOGARITMOSa) Logaritmo decimal o vulgar
Tiene base 10 y se representa normalmente como:
log(x)
Es muy usado en ingeniería y ciencias.
Ejemplo:
log(100)=2
b) Logaritmo natural o neperiano
Tiene base e y se representa como:
ln(x)
Es el más utilizado en cálculo diferencial e integral.
Ejemplo:
ln(e^3)=3 - 8PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSLas propiedades logarítmicas permiten simplificar operaciones complicadas.
Producto
log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)
Ejemplo:
log(1000) = log(10)+log(100)
=1+2=3
Cociente
log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)
Ejemplo:
log(100/10) = 2 - 1 =1
Potencia
log_a(M^n) = n.log_a(M)
Ejemplo:
log(10^4) = 4.log(10) =4 - 9REGLA DE DERIVACIÓNDerivada del logaritmo natural
d/dx(ln x) = 1/x
Ejemplo
d/dx(ln(3x)) = (1/3x)(3) = 1/x
Derivada de función exponencial
Base e
d/dx(e^x) = e^x
Ejemplo
d/dx(e^2x) = 2e^ 2x
Derivada de exponencial de base cualquiera
d/dx(a^x) = a^x ln(a)
Ejemplo
d/dx(3^x) =3^x ln3 - 10DERIVADA LOGARÍTMICALa derivación logarítmica se utiliza cuando una función tiene productos, cocientes o potencias complicadas. El procedimiento consiste en aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación y luego derivar.
Propiedad principal
Si:
y = f(x)
entonces:
d/dx(ln y) = 1/y . dy/dx
Ejemplo
Derivar:
y = x^x
Tomando logaritmos:
ln y = ln(x^x)
ln y = x ln x
Derivando:
1/y . dy/dx = 1+ln x
Multiplicando por y:
dy/dx =x^x(1+ ln x)
Informationen
- Beschreibung
- Karteikarten am Funciones Exponenciales y Logarítmicas , erstellt von Gianella Gutierrez am 02/06/2026.
- Erstellt von
- Gianella Gutierrez
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