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- 1LÍMITES DE UNA FUNCIÓNPropiedades de los límites
Los límites especiales comentados anteriormente junto con las propiedades generales de los límites que vamos a dar aquí, nos permitirán calcular
una gran cantidad de límites sin recurrir a tablas o a gráficas. - 2Operaciones con límites: Suponga que f y g son funciones tales que limx→c f(x) = L y limx→c g(x) = M entonces se tienen las siguientes propiedades:a) limx→f(x) + g(x) = L + M. “El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones (cuando éstos existen)”
b) limx→f(x) − g(x)= L − M. “El límite de una resta de funciones es la resta de los límites de esas funciones (cuando éstos existen)”
c) limx→f(x)g(x)= L · M. “El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de esas funciones (cuando éstos existen)” - 3e) Si n es un número entero entonces limx→c [f(x)]n = Ln . Cuando n es negativo se debe tener que L 6= 0. “El límite de una potencia de una función es la potencia del límite de esa función (cuando éste existe y en caso de que el exponente sea negativo L 6=/ 0)” f) Si n es un número natural entonces limx→c pn f(x) = √nL. En caso de que n sea par debemos tener L ≥ 0. “El límite de la raíz n–´esima de una funci´on es la ra´ız n–ésima del límite de la función (cuando éste existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0)”A continuación se da una serie de ejemplos que ilustran las propiedades indicadas. En todos los casos los cálculos están basados en los límites de la función constante y de la función identidad ya dados.
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- 5Factorización y simplificación de los límites.Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x
2 + x − 6, en otras
palabras: x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorización de x2 + x − 6,
se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x2 + x − 6. - 6Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean idénticos “arriba” y “abajo” en la fracción.FÓRMULAS DE FACTORIZACIÓN:
- 7Lo que todo esto significa es: si se logra transformar adecuadamente la función dada en otra que sea equivalente a ella (salvo en el valor c dado) y si la función nueva tiene un límite determinado, entonces: éste es también el límite de la función original.
- 8Métodos para calcular límites.A partir del ejemplo anterior vemos que con el objeto de realizar estas
transformaciones se utiliza los conocimientos del álgebra básica tales
como operaciones con fracciones racionales, factorización de polinomios,
racionalización y simplificación de expresiones algebraicas en general.
A continuación se presenta varios ejemplos que ilustran estos procedimientos. En todos los casos se trata de límites indeterminados de la
forma 0/0. Cuando esté calculando límites haga siempre en primer lugar
la evaluación porque si el límite no es indeterminado no es necesario
realizar las transformaciones por más “extraña” que sea la función. - 9Primer método: factorizar y simplificar
- 10RACIONALIZACIÓN En una fracción algebraica que contenga radicales, racionalizar es eliminar el radical del denominador o del numerador. Normalmente el radical no desaparece del todo de la expresión sino que “cambia de lugar”.Ejemplo: Racionalizar el denominador en
- 11Se trata de que el denominador no contenga races. El método es multiplicar el numerador y el denominador por una expresión que permita que en el denominador no queden las races. Es de gran ayuda recordar las fórmulas de factorización. En este caso, con el fin de utilizar la fórmula de diferencia de cuadrados procedemos as:De modo parecido se procede si hay que racionalizar el numerador, pero en ese caso eliminando las races
del numerador.
- 12Segundo método: racionalizar y simplificar
- 13Tercer método: combinación de los anteriores:
- 14EJERCICIO DESARROLLADO:
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- Karteikarten am Ohne Titel, erstellt von Cassandra Padilla am 01/06/2020.
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- Cassandra Padilla
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