LÍMITES

LÍMITES

DEFINICIÓN DE LOS LÍMITES

El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.

EL PROCESO DEL LÍMITE

1.-Con la gráfica y una tabla de valores

¿Qué le sucede a f(x)=x^(2)+3 cuando x se acerca a 3?

Solución: ​​​​​​En la gráfica podemos ver que entre más cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los valores de f(x) se encuentran más cercanos a 12. En la tabla de valores refueza esa percepción gráfica.

Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12.

2.-Crecimiento ilimitado

f(x)=1/x, para valores de x cercanos a 0.

A medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la gráfica de la función "sube ilimitadamente" sin aproximarse a ningún valor en particular. Si vamos por la izquierda de 0, la gráfica de la función "baja ilimitadamente" y tampoco se aproxima a ningún valor en particular.

♦Tenemos un valor dado de x (un valor de x previamente fijado) digamos x=c y, luego, consideramos valores de x cada vez más próximos a c, tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda). Se expresa deciendo que x tiendea c y simbólicamente se indica por: x-->c.

Ejemplo 1: x-->3; Ejemplo 2: x-->0.

♦En el ejmeplo 1, a medida que nos aproximamos al valor dado de x, no importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando a un valor fijo. Decimos en este caso que f(x) tiende a L y escribimo: f(x)-->L.

La situación se expresa: "El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L".

VALOR ABSOLUTO Y CONSIDERACIONES

El valor absoluto se define como: |x|={x si x _>0; -x si x<0

Si un número es positivo o cero entonces es igual a su valor absoluto y si el número es negativo entonces su valor absoluto es su opuesto.

♥|x|_>0 para todo x E R ♥|xy|=|x| |y|para todo x, y en R

♥|x+y| _< |x|+|y| para todo x, y en R ♥|x|< k es equivalente a -k <x <k

♥|x|> k es equivalente a x>k o x<-k.

CÁLCULO DE UN LÍMITE

♠A veces no se conoce la gráfica de una función, o es muy difícil de trazar.

♠Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboración de la tabla utilizando únicamente una sencilla calculadora.

♠No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.

Existen dos tipos de límites especiales: el límite de una función constante y el límite de la función identidad.

El límite de una función constante

De la gráfica 2.25 podemos ver que para cualquier valor de c tenemos: lim k=--> k

x->

El límite de la función identidad

De la gráfica 2.26 podemos observar que para cualquier valor x= c se tiene que

lim x= c

x->c

FIN