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Cálculos numéricos

Introducción a los métodos numéricos

Importancia de los métodos numéricos

Conceptos básicos

Tipos de errores

Software de cómputo numérico

Métodos iterativos

Trata de resolver un problema mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial

Puntos fijos atractivos

Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.

Sistemas lineales

En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos del subespacio de krylov

Métodos iterativos estacionarios

Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la medida de error (el residuo), desde una ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.

Métodos del subespacio de Krylov

Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta clase es el método del gradiente conjugado. Otros métodos son el método del residuo mínimo generalizado y el método del gradiente biconjugado.

Convergencia

Dado que estos métodos forman una base, el método converge en N iteraciones, donde N es el tamaño del sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del operador.

Paquetes comerciales de Fortran

Paquetes de sofware comercial para cómputo numérico general.

NAG

El Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.

IMSL

La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios

Matlab

Es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio.

Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que es conveniente estimar.

Fuentes de error

Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de 0.333333 en lugar de 1/3.) Su característica principal es que se propaga al output. Esta propagación puede estudiarse mediante análisis de sensibilidad, que permiten detectar hipersensibilidades de los resultados hacia variables específicas en rangos particulares, de modo que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos.

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos.

PROPAGACIÓN DEL ERROR.

Se dice que existe una propagación en los errores cuando al realizar operaciones con números que ya tienen errores y que por su naturaleza y las operaciones generan nuevos errores.

cifra significativa

El concepto de cifra significativa lo podemos definir como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error. Son cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o posición de error.

Precisión y exactitud

Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella.

Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.

incertidumbre y sesgo.

Incertidumbre también se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento.

Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática

Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secuenciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el Análisis Numérico.