Limites de dos variables

Limites de Dos Variables

Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro número

COMPROBACION DE LIMITES MEDIANTE LA DEFINICION

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / 0 < √[(? − ?0 )² + (? − ?0 )²] < δ → |f(?,?)-L| < ε

CALCULO DE LIMITES

Cuando la función ?(?, ?) está definida en el punto donde queremos estudiar el límite, es decir, no hay indeterminación cuando se calcula el límite doble. En este caso, el límite doble existe y el valor al cual tenderá, será igual al valor que tome “naturalmente” la función.

Cuando la función no está definida en el punto donde queremos calcular el límite, es decir, se produce una indeterminación al calcular el límite doble. En este caso, debemos aplicar algunos métodos para calcular el límite.

LIMITES POR TRAYECTORIAS

LIMITES ITERADOS

LIMITES Y COORDENADAS POLARES

Si por dos trayectorias diferentes el valor del límite es diferente, entonces podemos concluir que el Limite no existe.

Si al calcular el límite por varias trayectorias, obtenemos el mismo valor ? , no podemos concluir de manera directa que el límite existe y vale ?. Este hecho sólo nos indica que si el límite existe, su valor debe ser ? y debemos acudir a probar la existencia del límite.

Para funciones de dos variables se puede aproximarse a (?0, ?0 ) desde un número infinito de direcciones en cualquier trayectoria.

Limite Direccional: Cuando la trayectoria de aproximación al punto (?0, ?0 ) es una recta de la forma ? = ?? + ?, que pasa por dicho punto. Al límite de ?(?, ?) en (?0, ?0 ) se llama límite radial o direccional. Si el punto (?0, ?0 ) es el origen del sistema de coordenadas, la ecuación de la recta quedaría ? = ??

Limite a lo largo de una curva: Si ? es una curva que pasa por el punto (?0, ?0 ), al límite de ?(?, ?) en (?0, ?0 ) se llama límite a lo largo de la curva ?.

Posibles trayectorias son:

PROPIEDADES:

Si existe el limite de la función:

entonces cualquiera de los limites reiterados que exista debe tener este valor

Se definen como límites iterados los siguientes:

Puede que alguno de los limites reiterados o ambos no existan y si exista el limite de la función:

Si los limites reiterados existen pero son diferentes, entonces el limite de la función en el punto no existe

Si lo limites reiterados existen y son iguales, esto no implica que el limite de la función en el punto exista

Necesitamos probar que, para cada ? > 0, existe un ?-entorno (? > 0) alrededor de (3,4) tal que |?? − 12| < ? siempre que 0 < √(? − 3)² + (? − 4)² < ?.

|? − 3| < √(? − 3)² + (? − 4)² < ? → |? − 3| < ?

|? − 4| < √(? − 3) 2 + (? − 4) 2 < ? → |? − 4| < ?

En efecto: |?? − 12| = |?? − 3? + 3? − 12| = |(? − 3)? + 3(? − 4)| ≤ |?||? − 3| + 3|? − 4|

Vamos a acotar |?|. Se tiene que |? − 4| < ? → 4 − ? < ? < 4 + ?

Si consideramos ? < 1, entonces 3 < ? < 5. Como en este intervalo ? es positiva, entonces ? = |?|. Entonces: |?| < 5

Luego: |?? − 12| ≤ |?||? − 3| + 3|? − 4| < 5? + 3?

|?? − 12| < 8?

Como se debe cumplir que |?? − 12| < ?, basta con asegurarnos de que 8? < ?

Es decir, basta tomar ? < ? 8 ⁄ para que |?? − 12| < ? siempre que 0 < √(? − 3) 2 + (? − 4) 2 < ?.

Queda demostrado que el Limite existe y vale 12

Ejemplo

Las coordenadas polares identifican el punto de coordenadas (x,y) del plano mediante (r,θ), de modo que como r representa la distancia del punto (x,y) al origen, si esta tiende a 0 el punto de coordenadas (r,θ) se aproxima al origen. Entonces esta es la idea que nos llevaba a conseguir un método para analizar los limites. Este metodo nos permite analizar el limite de dos variables mediante una sola y al final podemos concluir que si el limite no existe o depende de θ, se asegura que f no tiene limite en (0,0)