Limites de dos variables

Limites de dos variables

Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro número. En una función con varias variables la función f tiende a un valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función.

COMPROBACION DE LIMITES MEDIANTE LA DEFINICIÓN

Necesitaremos comprobar que, para cada ε > 0, existe un δ entorno alrededor de ( Xo, Yo)

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / 0 < √(? − ?0 )² + (? − ?0 )² < δ → |f(x,y)-L| < ε

ejm: 1) Mediante la definición de límite, probar:

Lim xy = 12

(x,y) → ( 3, 4)

Solución: Necesitamos probar que, para cada ? > 0, existe un ?-entorno (? > 0) alrededor de (3,4)

tal que |?? − 12| < ? siempre que 0 < √(? − 3)2 + (? − 4)2 < ?.

|? − 3| < √(? − 3)2 + (? − 4)2 < ? → |? − 3| < ?

|? − 4| < √(? − 3)2 + (? − 4)2 < ? → |? − 4| < ?

En efecto: |?? − 12| = |?? − 3? + 3? − 12| = |(? − 3)? + 3(? − 4)| ≤ |?||? − 3| + 3|? − 4|

Vamos a acotar |?|. Se tiene que |? − 4| < ? → 4 − ? < ? < 4 + ?

Si consideramos ? < 1, entonces 3 < ? < 5. Como en este intervalo ? es positiva, entonces ? = |?|.

Entonces: |?| < 5

Luego: |?? − 12| ≤ |?||? − 3| + 3|? − 4| < 5? + 3?

|?? − 12| < 8?

Como se debe cumplir que |?? − 12| < ?, basta con asegurarnos de que 8? < ?

Es decir, basta tomar ? < ?\8para que |?? − 12| < ? siempre que 0 < √(? − 3)2 + (? − 4)2 < ?

CALCULO DE LIMITES

a) Cuando la función ?(?, ?) está definida en el punto donde queremos estudiar el límite, es decir,

no hay indeterminación cuando se calcula el límite doble. En este caso, el límite doble existe y el

valor al cual tenderá, será igual al valor que tome “naturalmente” la función.

b) Cuando la función no está definida en el punto donde queremos calcular el límite, es decir, se

produce una indeterminación al calcular el límite doble. En este caso, debemos aplicar algunos

métodos para calcular el límite.

LIMITES POR TRAYECTORIAS

Recordemos que para funciones de una variable, cuando se permite que ? se aproxime a ?0, solo hay dos posibles direcciones de aproximación, desde la izquierda o desde la derecha. Para funciones de dos variables no es tan sencillo, porque (?, ?) puede aproximarse a (?0, ?0) desde

un número infinito de direcciones en cualquier trayectoria mientras (?. ?) permanezca en el dominio de ?. Si por dos trayectorias diferentes el valor del límite es diferente, entonces podemos concluir que no existe.

Si al calcular el límite por varias trayectorias, obtenemos el mismo valor ? , no podemos concluir de manera directa que el límite existe y vale ?. Este hecho sólo nos indica que si el límite existe, su valor debe ser ? y debemos acudir a probar la existencia del límite.

Podemos considerar trayectorias radiales o a lo largo de una curva:

Limite Direccional: Cuando la trayectoria de aproximación al punto (?0, ?0) es una recta de la forma ? = ?? + ?, que pasa por dicho punto. Al límite de ?(?, ?) en (?0, ?0) se llama límite radial o direccional. Si el punto (?0, ?0) es el origen del sistema de coordenadas, la ecuación de la recta

quedaría ? = ??

Limite a lo largo de una curva: Si ? es una curva que pasa por el punto (?0, ?0), al límite de ?(?, ?) en (?0, ?0) se llama límite a lo largo de la curva ?.

LIMITES ITERADOS

Se definen como límites iterados los siguientes:

Limites y coordenadas Polares

Las coordenada polares permiten identificar un punto de coordenadas ( x, y) mediante otro par de numeros ( r, θ). DE modo que r representa la distancia del punto (x, y) al origen, por esta razon si r tiende a 0 el punto de coordenadas ( r, θ) se aproxima al origen. Es la idea que nos lleva a proponer una manera de evaluar los limites

Propiedades

*Si existe el limite de la funcion, entonces cualquiera de los limites reiterados que exista debe tener este valor

*Puede que algunos de los limites reiterados o ambos no existan y si que exista el de la funcion

*Si los limites reiterados existen pero son diferentes, entonces el limite de la funcion en el punto no existe

*Si los limites reiterados existen y son iguales, esto no implica que el limite de la función en el punto exista