Calculo vectorial

Vectores en el espacio

Vectores en el plano y en el espacio

En el plano

En el espacio

Formas de representar vectores:

Pueden representarse mediante los símbolos especiales i y j

Un vector a en el espacio tridimensional es cualquier triada ordenada de números reales

Álgebra vectorial

Sea a = <a1, a2> y b = <b1, b2>

Sea a = <a1, a2, a3> y b = <b1, b2, b3>

Adición: 𝑎 + 𝑏 = <𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2>

Multiplicación: 𝑘𝑎 = <𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2>

Resta: 𝑎 − 𝑏 = <𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 −𝑏2>

Adición: <𝑎 + 𝑏 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3>

Multiplicación: 𝑘𝑎 = <𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2, 𝑘𝑎3>

Resta: 𝑎 − 𝑏 = <𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2−𝑏2, 𝑎3 − 𝑏3>

Producto Escalar

El producto escalar se denota mediante a * b

a * b = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

a * b = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2

Producto Vectorial

Solo está definido para vectores en el espacio, también es iportante tener en cuenta el concepto de determinante

a x b = (a2, b3 - a3b3)i - (a1b3 - a3, b1)j - (a1,b2 - a2b1)k

Ecuación de la recta y el plano

Curvas planas, ecuaciones paraméricas y coordenadas polares

Ecuaciones paramétricas

Curvas planas

Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas definidas sobre un intervalo común 𝐼, entonces 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔(𝑡) se llaman ecuaciones paramétricas y 𝑡 recibe el nombre de parámetro. El conjunto 𝐶 de pares ordenados (𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 ) cuando 𝑡 varía sobre 𝐼 se denomina curva plana.

Derivada de una curva

Si 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈(𝒕) define una curva suave 𝐶, entonces la pendiente de una recta tangente en un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) sobre 𝐶 es

Tangentes a una curva

Si 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈(𝒕) define una curva suave 𝐶, entonces la pendiente de una recta tangente en un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) sobre 𝐶 es

Longitud de arco

Si 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, define a una curva suave 𝐶 que no se interseca a sí misma en 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, entonces la longitud 𝐿 de 𝐶 es 𝐿 = 𝑎 𝑏 [𝑓´ 𝑡 ] 2+[𝑔′ 𝑡 ] 2𝑑𝑡 = 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑t

Funciones vectoriales de una variable real

Límite de una función vectorial

Plano

Espacio

lim 𝑡→𝑎 𝒓 (𝑡) = lim 𝑡→𝑎 𝑓(𝑡) 𝒊 + lim 𝑡→𝑎 𝑔(𝑡) 𝒋

lim 𝑡→𝑎 𝒓 (𝑡) = lim 𝑡→𝑎 𝑓(𝑡) 𝒊 + lim 𝑡→𝑎 𝑔(𝑡) 𝒋 + lim 𝑡→𝑎 ℎ(𝑡) K

Derivada de una función vectorial

Plano

Espacio

r´ 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 𝒊 + 𝑔′ 𝑡 𝒋

r´ 𝑡 = 𝑓 ′ (𝑡)𝒊 + 𝑔 ′ (𝑡)𝒋 + ℎ ′ 𝑡 𝒌

Indefinida

Definida

𝑎 𝑏 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 = [𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡] 𝒊 + [𝑎 𝑏 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 ]𝒋 + [𝑎 𝑏 ℎ 𝑡 𝑑𝑡]k

La integral indefinida de 𝒓 es otro vector 𝑹 + 𝑪, donde 𝑪 es un vector constante.

Funciones reales de varias variables

Se sustituye el primer valor para “x” y el segundo valor para “y”, en caso de que el límite se indetermine, entonces el límite no existe

Límite de una función de dos variables

Derivadas parciales de orden superior

Aplicando reglas de derivación ordinaria, se pueden calcular derivadas parciales aplicado a funciones de dos variables 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

Regla de la cadena

Suponga que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable en (𝑥, 𝑦) y 𝑥 = 𝑔(𝑡) y que 𝑦 = ℎ(𝑡) son funciones diferenciables en 𝑡. Entonces 𝑧 = (𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 ) es una función diferenciable de 𝑡 y:

Diferenciación implícita

Integración múltiple

De manera similar al proceso de diferenciación parcial podemos definir la integración parcial. El concepto de la integración parcial es la clave para un método práctico de evaluación de una integral doble y triple.

Cálculo Vectorial