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Aplicaciones de la derivada

(Módulo 5)

Teoremas y rectas

Pendiente de la recta tangente en un punto dado

La pendiente de la recta tangente en un punto dado se calcula, evaluando la derivada de la función en el punto requerido (?0)

? = ?′(?0)

Ejemplo:

Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto ?(−1,−2), P(-1,-2), si:

?(?) = ?2−3x^2-3

?´(?)f´(x)= 2? ⇒⇒ ?´(−1) = ? = −2

Teorema de Rolle

Si ? es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y f(a)=f(b), entonces existe un numero x en (a, b) de tal forma que f´(x)=0.

Teorema del valor medio

Si ? es continua en [a, b], entonces existe un número x en (a, b) tal que

f´(x)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Sea ? una función y ? un conjunto de números contenido en el dominio de ?.

Máximos y mínimos

f(x)≥f(y) para todo y de A

El número f(x) mismo recibe el nombre de el valor máximo de f sobre A (decimos también que f “alcanza en x” su valor máximo).

De manera análoga diremos que f(x) es el valor mínimo de f sobre A si f(x)≤f(y) para todo y de A

Teorema

Sea f una función definida sobre (a, b). Si x es un máximo (o un mínimo) para ? sobre (a, b) y ? es derivable en x, entonces f´(x)=0.

punto singular

Se llama punto singular(también conocido como punto critico) de una función f a todo número x tal que f´(x)=0.

El número ?(?) mismo recibe el nombre de valor singular de ?.

Para localizar el valor máximo y el mínimo de una función f deben considerarse tres clases de puntos

a)Los puntos singulares de ? en [a, b]

b)Los extremos a y b

c)Los puntos x de [a, b] tales que ? no es derivable en x

Ejemplo (Máximos y Mínimos)

Teorema

Supongamos que f´(a)=0. Si f´´(a)>0, entonces f tiene un mínimo local en a; si f´´(a)<0, entonces f tiene un máximo local en a.

Problemas de optimización

De una pieza cuadrada de hojalata de lado 60cm se desea construir una caja abierta por arriba, del mayor volumen posible cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para obtener las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado para que dicho volumen sea máximo?

Solución

Funciones decrecientes y crecientes

Se dice que una función ? es creciente sobre un intervalo si f(a)<f(b) siempre que a y b sean dos puntos sobre el intervalo y a<b.

La función ? es decreciente sobre un intervalo si ?(?)>?(?) para todos los a y b del intervalo con ?<?.

Corolario

Si ?´(?)>0 para todo ? de un intervalo, entonces ? es creciente en el intervalo; si ?´(?)<0 para todo ? en el intervalo, entonces ? es decreciente en el intervalo.

Concavidad y puntos de inflexión

La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, (A ç Df), si f'(x) es creciente sobre A.

Si f'(x) es decreciente sobre A entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Nota

La función derivada ?´ es la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo ?.

Ejemplo

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo [a,b] y cóncava hacia abajo en el intervalo [b,c]

Teorema

Si ? es una función tal que f′′(x)>0 cuando x ∈[a,b], entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre .[a,b].

Análogamente, si ? f es una función tal que ?′′?<0 cuando ? ∈[?,?], entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre [?,?].

Puntos de inflexión

Se dice que (?0, ??0) es un punto de inflexión de la gráfica de una función ?, si existe un intervalo [a,b] tal que ?0∈[?, ?], y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre [?, ?0], y cóncava hacia abajo sobre [?0, ?], o viceversa.

El punto (0,1) es un punto de inflexión de la curva con ecuación f(x)=x^3+1, pues f′′(x)=6x es positiva si ?>0, y negativa si x<0, de donde f es cóncava hacia arriba para ?>0, y cóncava hacia abajo para x<0.

Teorema

Si (?0, ??0) es un punto de inflexión de la gráfica de ? f y si ?′′(?0) existe, entonces ?′(?0)=0