Números reales

Números reales

1. Conjunto formado por los números racionales e irracionales, se designa por ℝ.

   • Se aplican en
     • Los Intervalos
       • Conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
         • Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x ∈ ℝ / a < x < b}
         • Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = { x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}
         • Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = { x ∈ ℝ / a < x ≤ b}
         • Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = { x ∈ ℝ / a ≤ x < b}
         • Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.
       • Con el signo U (unión) se nombra el conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos
     • Valor Absoluto
       • La distancia de a al origen en la recta real, |a|, Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
         • Propiedades
           • Los números opuestos tienen igual valor absoluto. |a| = |−a| |5| = |−5| = 5
           • El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b| |5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
           • El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos. |a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7
     • Desigualdades
       • Resolver una desigualdad es determinar el conjunto de números reales que satisface dicha desigualdad, es decir, encontrar el conjunto SOLUCION.
         • Propiedades
           • Transitividad, para números reales arbitrarios a,b y c: • Si a > b y b > c entonces a > c. • Si a < b y b < c entonces a < c. • Si a > b y b = c entonces a > c. • Si a < b y b = c entonces a < c.
           • Adición y sustracción, para números reales arbitrarios a,b y c: • Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c. • Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
           • Multiplicación y división, para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero: • Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c. • Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
           • Opuesto, para números reales arbitrarios a y b:• Si a < b entonces −a > −b. • Si a > b entonces −a < −b.
           • Recíproco, para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez: • Si a < b entonces 1/a > 1/b. • Si a > b entonces 1/a < 1/b. Si a y b son de distinto signo: ■ Si a < b entonces 1/a < 1/b. ■ Si a > b entonces 1/a > 1/b.
     • Funciones
       • Puede tener
         • Asíntotas verticales
           • Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k. Asintotas verticales K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
         • Asíntotas horizontales
           • Si existe el límite : La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

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