Función Cuadrática.

Función Cuadrática.

1. Se llama función cuadrática a la función matemática que se puede expresar como una ecuación que tiene la siguiente forma: f (x) = ax^2 + bx + c. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola y sus características son:

   • La orientación de la parábola, el vértice, el eje de simetría, el punto de corte con el eje de las coordenadas y el punto de corte con el eje de las abscisas.
     • Estas características que varían de acuerdo a los valores de la ecuación cuadrática en cuestión.
     • Concavidad (orientación de la parábola)
       • Hablamos de parábola cóncava hacia arriba si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola cóncava hacia abajo si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término ax^2.
         • Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5
         • Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
     • El vértice
       • El vértice de una ecuación cuadrática o parábola es el punto más alto o más bajo de la gráfica correspondiente a dicha función.
         • La fórmula para hallar el valor x del vértice de una ecuación cuadrática es x = -b/2a. Introduce los valores pertinentes para calcular x. Sustituye los valores de a y de b y resuelve.
           • Ahora que ya se conoce x, solo tendrás que introducir su valor numérico en la fórmula original (y= ax^2+bx+c) para hallar y.
             • Ya se conoce x e y, entonces debemos escribir estos valores en forma de coordenadas.
     • Eje de simetría
       • El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola y es paralelo al eje y.
         • Para una función cuadrática en la forma, y = ax 2 + bx + c , el eje de simetría se calcula x=-b/2a, al igual que el valor x del vértice.
     • Intersección con eje x (el punto de corte con eje de las coordenadas)
       • Cuando la gráfica intercepte el eje x, el valor de y debe ser 0. Reemplazando en la ecuación, obtenemos: 0= ax2+bx+c Por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado.
         • Como las soluciones dependen del signo del discriminante, entonces tenemos que:
           • El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática dentro del símbolo de raíz cuadrada: b²-4ac. El discriminante nos indica si hay dos soluciones. una solución, o ninguna.
           • Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x. Si D = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x. - Si D > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x.
             • Si graficamos lo visto hasta ahora, tenemos las siguientes posibilidades:
     • Intersección con el eje y (punto de corte con el eje de las abscisas)
       • En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que se tiene: f(0)= a* 0^2+b*0+c Así que el punto de corte es: P(0,c)
   • Ejemplos de parábolas:
   • Efectos de la variación de los coeficientes de una función cuadrática en el gráfico.
     • Caso 1:
       • Al darle valores reales distintos de cero al coeficiente a de x^2, las tramas de la parábola asociada a la función ,se vuelven más cerradas o más abiertas con respecto a la parábola unitaria.
         • Si a es mayor que 1 la parábola se contrae y si a es mayor que 0 ,pero, menor a 1, se dilata.
     • Caso 2:
       • Al sumar la variable x^2 de la función con la constante positiva o negativa k, la parábola se traslada k unidades hacia arriba o hacia abajo.
         • y=x^2+k
         • El vértice de la parábola es el punto (0,K)
     • Caso 3:
       • Al reemplazar en la función la variable independiente x por (x-h), siendo h una constante positiva o negativa, la parábola se traslada h unidades hacia la derecha o a la izquierda del origen o(0,0)
         • y=(x-h)^2
         • El vértice de cada parábola es el punto (h,0)
     • Caso 4:
       • Se denomina forma canónica de la función y=ax^2+bx+c a la expresión y=a(x-h)^2+k
         • El vértice de la parábola es el punto (h,k) y su eje de simetría es la recta de la ecuación x=h.

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