Números Imaginarios y Complejos

Números Imaginarios y Complejos

1. Definición

   • Los números complejos conforman un número de cifras resultantes de la suma de un número real y uno de tipo imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un número entero (4,15,2098,etc.) o decimal (1,25; 3,28; 345,7; etc.) en cambio el imaginario es aquel cuyo cuadrado es negativo (se le otorga la letra i de imaginario)

2. Formación

   • El cuerpo de cada n°real está formado por pares ordenados (a,b), donde a corresponde a la parte real , y b a la imaginaria. Los n°imaginarios puros son los que sólo están formados por la parte imaginaria (a=0)
     • Los n°complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real es identificado con el correspondiente complejo (a,o), el cuerpo de estos n°reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R, lo cual demuestra que los complejos no admiten la posibilidad de tener un orden
       • El plano complejo (Argán)
         • El eje "x"pasa ser reemplazado por el eje de los reales, y el eje "y" por el eje de los imaginarios; por consecuente la parte "a" va en el eje Re y la imaginaria "b" en el eje Im. Aclarando que la parte imaginaria es "bi", en donde en n°real de nuestra parte imaginaria es b. Este plano se utiliza par obtener el radio del vector o magnitud del vector, es decir el valor absoluto de un n°complejo
           • Ejemplo:

3. Definición

   • Los n° complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un n° real y uno de tipo imaginario. Un n° real es aquel que puede ser expresado por un n° entero (4,15,637,etc.) o decimal (34,6;897,4;56,1;etc.). En cambio uno imaginario es aquel cuyo cuadrado es negativo (se le otorga la letra i de imaginario, otorgado por Leonhard Euler)
     • La noción de n°complejo aparece ante la imposibilidad de los n°reales de abarcar a las raíces de orden de par del conjunto de los números negativos, por lo tanto reflejan todas las raíces de los polinomios, algo que los reales no están en condiciones de hacer

4. De forma binómica

   • Al n° a+bi le llamamos n° complejo de forma binómica. Recordar que "a" es la parte real y "b" la parte imaginaria.
     • Si b=0 , el n°complejo se reduce a un n°real ya que a+0i=a
       • Si a=0, el n°complejo se reduce a bi, y se dice que es un n°imaginario puro
         • El conjunto de todos los n°complejos se designa por:
           • Los n°complejos a+bi y -a-bi se llaman opuestos
             • Los n°complejos z= a+bi y z= a-bi se llaman conjugados
               • Dos n°complejos son iguales cuando tienen el mismo componente real e imaginario

5. Operaciones de complejos de forma binómica

   • Suma y Resta
     • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
     • (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
     • EJEMPLO: (5+2i)+(-8+3i)-(4-2i)
       • =(5-8-4)+(2+3+2)i=-7+7i
   • Multiplicación
     • (a+bi)x(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
       • EJEMPLO: (5+2i)x(2-3i)
         • =10-15i+4i-6i^2
           • =10-11i+6
             • =16-11i
   • División
     • EJEMPLO:
     • Inverso aditivo (opuesto)
       • Esta propiedad dice que todo n°complejo tiene un elemento inverso aditivo que, sumando a él, da como resultado el elemento neutro. El inverso aditivo de a+bi es -a-bi. En efecto:
         • (a+bi)+(-a-bi)=(a-a)+(b-b)i=0+0i
     • Inverso multiplicativo (recíproco)
       • Buscamos el inverso multiplicativo x+yi del n°complejo a+bi, tenemos que (a+bi)(x+yi)=1+0i. Resolviendo el producto de la parte izq. de la igualdad, obtenemos un sist. de ecuaciones 2x2, igualando las partes reales e imaginarias. Procedemos a resolver el sist. de ecuaciones por el método de reducción y obtenemos las expresiones para xy ,y en términos de a y b, lo que nos da una fórmula para hallar el inverso multiplicativo de cualquier complejo diferente de cero.

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