Funciones

Funciones

1. Función cubica

   • Es generalmente utiliza para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo
     • La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d ϵ ℝ
       • Propiedades • El dominio de la función es la recta real, es decir; todos los números ℝ • El recorrido de la función es decir la imagen son todos los números ℝ • La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x). • La función es continua en todo su dominio. • La función es siempre creciente. • La función tiene un punto de corte con el eje Y. • La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X

2. Función exponencial

   • Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones, en especial ellas describen el crecimiento de muchas cantidades de la vida real. Una función exponencial con base a se define como: y=f(x)=ax
     • donde a ∈ ℝ con a > 0 , a ≠ 1 y X es un número real. Esto significa que la base de la función exponencial siempre es positiva, por lo que el valor de f (x) siempre es positivo. Además, la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante
       • Propiedades •El dominio de la función exponencial es el intervalo abierto: (− ∞,∞), es decir todos los Reales • El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,∞) • No cruza al eje x, siempre corta al eje y en el punto P(0,1) y pasa por el punto P(1 ,a ) • Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a <1 • La función crece más rápido si la base es cada vez mayor y decrece más rápido si la base es cada vez menor • Es continua si el valor de la base es uno, a se convierte en la función constante f (x) =1, representada por una recta paralela al eje x, a una unidad de distancia.

3. Función logarítmica

   • Se llama función logarítmica a la función real de variable real: y=loga f(x)
     • Propiedades • La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos • Los números negativos y el cero no tienen logaritmo • La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a • Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e • Es la función inversa de la función exponencial. •El dominio de la función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,∞) • El rango de la función logarítmica es el intervalo abierto: (− ∞,∞) es decir, todos los números reales • No cruza al eje y, siempre corta al eje x en el punto P(1,0) y pasa por el punto P( a, 1) • Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a

4. Función inversa

   • Las funciones f y g son funciones inversas si f ( g ( x )) = x para todas las x en el dominio de g y g ( f ( x )) = x para todas las x en el dominio de f . La inversa de una función f es usualmente denotada por f –1 y se lee “ f inversa.” (Dese cuenta que el superíndice –1 en f –1 no es un exponente).
     • Suponga que dos funciones son inversas. Si ( a , b ) es un punto en la gráfica de la función original, entonces el punto ( b, a ) debe ser un punto en la gráfica de la función inversa. Las gráficas son imágenes espejo una de otra con respecto a la recta y = x .
       • Propiedades: 1. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial. 2. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad. 3. La función inversa no siempre existe. 4. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial. 5. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.
         • Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos: 1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x). 2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x. 3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

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