Funciones y Sus Operaciones

Funciones y Sus Operaciones

1. Función inyectiva

   • Una función F = X ⮕ Y es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (codominio) de f.
   • Cardinalidad e inyectividad: Dados dos conjuntos A y B, entre los cuales existe una función inyectiva f : A ⮕ B tienen cardinales que cumplen: Card (A) ≤ Card (B)

2. Función sobreyectiva

   • En matemáticas, una función F = X ⮕ Y es sobreyectiva, si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de Y es la imagen de como mínimo un elemento de X.
   • Cardinalidad y sobreyectividad: Dados dos conjuntos A y B, entre los cuales existe una función sobreyectiva F = A ⮕ B, se tiene que los cardinales cumplen: Card (A) ≥ Card (B) Si además existe otra aplicación sobreyectiva g = B ⮕ A, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B, por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

3. Función biyectiva

   • En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
     • F = X ⮕ Y , Es decir , X ⮕ Y = F(x)
   • Cardinalidad y biyectividad: Dados dos conjuntos A y B, entre los cuales existe una función biyectiva F = A ⮕ B tienen cardinales que cumplen: Card (A) = Card (B)

4. Función inversa

   • En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función inversa de f.
     • F(x) = y ⬌ F-1 y = (x)
   • Propiedades algebraicas
     • La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
       • Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g
         • (g o f)-1 = f-1 o g - 1
         • habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1
     • La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f. (f -1) -1 = f Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: f-1 o f = Idx y f o f-1 = Idy
       • (g o f)-1 = f-1 o g - 1

5. Función compuesta

   • Propiedades
     • La composición de funciones es asociativa, es decir
       • h o (g o f) = (h o g) o f
     • La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:
       • (g o f) ≠ (f o g)
         • Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x²
           • Entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
     • Además, la inversa de la composición de dos funciones es:
       • El elemento neutro asociado a la composición de funciones es la función identidad.
       • Con las tres propiedades anteriores: asociativa, no conmutativa y elemento neutro, las funciones reales de variable real constituyen un monoide para la operación interna de composición de funciones.
       • (g o f) -1 = f-1 o g-1
   • En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones.
   • f compuesta con g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
     • la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa
       • Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Usando la notación matemática.
       • Para todo x perteneciente a X. A g ∘ f se le llama composición de f y g
       • (g ∘ f)(x) = g[f(x)]

6. Operaciones entre Funciones

   • Las funciones con dominios que se traslapan pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas y divididas. Si f ( x ) y g ( x ) son dos funciones
     • entonces para todas las x en el dominio de ambas funciones la suma, diferencia, producto y cociente están definidos como sigue
       • • Suma de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x)
           • Dominio D(f + g) = D f ⋂ D g
         • Producto de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x)
           • Dominio D(f · g) = D f ⋃ D g
         • División de funciones (f / g)(x) = f(x) / g(x)
           • D(f + g) =(D f ⋂ D g) − {x ∈R /g(x) = 0}
   • Propiedades
     • Asociativa: f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x)
     • Conmutativa: f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
     • Elemento neutro: La función constante: f(x) = 0.
     • Elemento simétrico: La función opuesta: −f(x).

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