funciones

funciones

1. variable es una magnitud que puede tener cualquier valor entre los comprendidos en un conjunto.

   • funcion es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.
   • dominio es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien. En se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.
   • El Rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, aún más dispersos están los datos. El rango, también es llamado amplitud o recorrido de medida

2. Función Real de Variable Real y su Representación Gráfica

   • Sea una función real de variable real. A cada le hace corresponder un valor numérico que es la imagen de x por f.
     • GRAFICO DE UNA FUNCIÓN “x” representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D “y” representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen
     • Son funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es o un subconjunto D de (variable real).

3. Función Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva

   • Función inyectiva
     • si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
       • Cardinalidad e inyectividad
         • Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen: Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B
       • Función sobreyectiva
         • En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
   • Función biyectiva
     • es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva
       • Teorema
         • Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva

4. Funciones Algebráicas: Función Polinomial, Racional e Irracional

   • En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma: f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador
     • Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales
     • La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

5. Funciones Trascendentes: Funciones Trigonométricas y Funciones Exponenciales

   • Funciones trigonométricas
     • Las funciones trigonométricas mas utilizadas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Basándonos en lo anterior te dejamos la siguiente tabla que muestra algunos datos importantes de las funciones trigonométricas mas comunes
   • Funciones exponenciales
     • f(x)= a^x Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

6. funcion escalonada

   • La función escalonada y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi , xi+1), y tiene un valor constante de valor si, con discontinuidades -saltos- en los puntos xi.

7. Operaciones con Funciones: Adición, Multiplicación, Composición

   • -ADICIÓN:
     • Llamamos suma de f y g, a una operación real que denominamos (f + g) tal que: (f + g) (x) = f(x) + g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩ Dom(g)] Llamamos función nula o función cero a aquella función que asigna a cualquier elemento del dominio el valor 0 como imagen. La expresamos por 0. Se verifica que: (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) Por tanto, la función nula es el elemento neutro para la suma de funciones.
   • -MULTIPLICACIÓN
     • Llamamos producto o multiplicación de f por g, y lo expresamos por (f · g), a la función: (f · g)(x) = f(x) · g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩Dom(g)] Llamamos función unidad, y la expresamos por 1, a aquella función que a cada número real le asigna el número real 1. Se verifica que: (f · 1)(x) = f(x) · 1(x) = f(x)
   • COMPOSICIÓN:
     • Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

8. Función inversa, Funciones trigonométricas inversas

   • Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales.
   • Funciones trigonométricas inversas
     • Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas . Así las gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1 . Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una 1-a-1.

9. Función implícita.

   • En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x - y - 2 = 0 Derivada implícita Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Bilder und Dateien der Mindmap